A1  ^?? Квантовомеханическое выражение для дисперсии показателя преломления вещества как функции частоты $\nu$ вдали от области поглощения записывается в виде $$n^{2}=1+\frac{2 N}{3 h \varepsilon_{0}} \sum_{i} \frac{\nu_{i} d_{i}^{2}}{\nu_{i}^{2}-\nu^{2}}, \tag{1}$$ где $h$ – постоянная Планка, $\varepsilon_{0}$ – электрическая постоянная, $d_{i}$ - дипольный момент перехода с частотой $\nu_{i}$, а $N$ – число молекул в единице объема. Принимая, что моменты $d_{i}$ создаются гармоническими осцилляторами с зарядами $q_{i}$, массами $m_{i}$ и энергиями $W=h \nu_{i}$, покажите, что уравнение $(1)$ эквивалентно классическому выражению $$n^{2}=1+\frac{1}{4 \pi^{2} \varepsilon_{0}} \sum_{i} \frac{N_{i} f_{i} q_{i}^{2}}{m_{i}\left(\nu_{i}^{2}-\nu^{2}\right)} \tag{2}$$ В этом выражении каждый осциллятор имеет только одну собственную частоту и осцилляторов столько, сколько собственных частот. $f_{i}$ – численный коэффициент, называемый силой осциллятора. Найдите выражение для $f_{i}$ в случае, когда рассматривается только единственный переход. Тогда окажется, что $f_{i}$ имеет порядок единицы и можно считать, что $f_{i}=1$.

Энергия гармонического осциллятора с частотой $\nu_{i}$ определяется формулой $$W_{i}=h \nu_{i}=4 \pi^{2} m_{i} \nu_{i}^{2} s_{i}^{2}$$ где $s_{i}$ – смещение. Дипольный момент $d_{i}=q_{i} s_{i}$. Для осцилляторов типа $i$ имеем $$\frac{2 N \nu_{i} d_{i}^{2}}{3 \varepsilon_{0} h}=\frac{2 N \nu_{i}^{2} s_{i}^{2} q_{i}^{2}}{3 \varepsilon_{0} h_{i} \nu_{i}}=\frac{2 N q_{i}^{2}}{3 \varepsilon_{0} 4 \pi^{2} m_{i}}.$$ Сравнивая $(1)$ и $(2)$, находим, что

B1  ^?? Дисперсия показателя преломления водорода при нормальных условиях (температуре и давлении) в интервале от $0.4$ до $9~мкм$ может быть представлена в виде $$n^{2}=1+2.721 \cdot 10^{-4}+\frac{2.11}{\lambda^{2}} \cdot 10^{-18} \quad(\lambda ~в ~м) \tag{3}$$ Чтобы связать это выражение с теоретическим $(2)$, запишем его следующим образом: $$n^{2}=1+A\left(1+\frac{B}{\lambda^{2}}\right) \tag{4}$$ Найдите значения $A$ и $B$ и убедитесь, что собственная частота осциллятора лежит в ультрафиолетовой области. Найдите отношение $q/m$. К какой частице применимо полученное значение? Плотность водорода $\mu=9.0 \cdot 10^{-2}~кг\cdot м^{-3}$, число Фарадея $N_A е=9.65 \cdot 10^{7}~Кл$, где $N_A$ – число молекул в одном киломоле и $e$ элементарный заряд.

При $\nu \ll \nu_{i}$ уравнение $(2)$ для одного перехода можно записать в виде $$n^{2}=1+\frac{N q^{2}}{4 \pi^{2} \varepsilon_{0} m \nu_{i}^{2}} \frac{1}{1-\nu^{2} / \nu_{i}^{2}}=1+\frac{N q^{2}}{4 \pi^{2} \varepsilon_{0} m \nu_{i}^{2}}\left(1+\frac{\nu^{2}}{\nu_{i}^{2}}\right),$$ и с учетом, что $\lambda=c / \nu$ и $\lambda_{i}=c / \nu_{i}$ : $$n^{2}=1+A\left(1+\frac{B}{\lambda^{2}}\right)$$ где $$A=\frac{N q^{2}}{4 \pi^{2} \varepsilon_{0} m \nu_{i}^{2}}, \quad B=\frac{\nu^{2}}{\nu_{i}^{2}} \lambda^{2}=\lambda_{i}^{2}, \quad \frac{A}{B}=\frac{N q^{2}}{4 \pi^{2} \varepsilon_{0} c^{2} m}.$$ Сравнивая коэффициенты $(3)$ и $(4)$, находим $$A=2.712 \cdot 10^{-4}, \quad B=\frac{2.11 \cdot 10^{-14}}{2.721}=0.78 \cdot 10^{-14}=\lambda_{i}^{2}$$ откуда $$\lambda_{i}=\sqrt{0.78} \cdot 10^{-7} \approx 0.9 \cdot 10^{-7}~м=900~\overset{\circ}{\mathrm{A}}$$ $\lambda_{i}$ лежит в далекой ультрафиолетовой области.

Чтобы определить отношение заряда к массе осциллятора $q/m$, запишем $$\frac{A}{B}=k^{2} \frac{e}{m} \frac{N e}{4 \pi^{2} \varepsilon_{0} c^{2}},$$ принимая $q=k e$, где $e$ – элементарный заряд, а $k$ – целое число. Имеем $N=N_A \mu / M$ ($M$ – молекулярный вес в данном случае равен $1$), отсюда $$N e=N_A e \mu=9.65 \cdot 10^{7} \cdot 9 \cdot 10^{-2}=0.87 \cdot 10^{7}~Кл$$ и $$4 \pi \varepsilon_{0} c^{2}=\frac{4 \pi \cdot 9 \cdot 10^{16}}{4 \pi \cdot 0 \cdot 10^{9}}=10^{7}$$ отсюда $$k^{2} \frac{e}{m}=\frac{2.721 \cdot 10^{-4}}{0.78 \cdot 10^{-14}} \frac{3.14 \cdot 10^{7}}{0.87 \cdot 10^{7}}=1.3 \cdot 10^{11}~Кл/кг.$$ Величина $e/m$ составляет $1.76 \cdot 10^{11}~Кл/кг$. Тогда $k=1$ и осцилляторами, отвечающими за ультрафиолетовое поглощение, являются электроны. Известно, что переходы в ультрафиолетовой области спектра связаны с изменением электронной энергии молекулы.

C1  ^?? В интервале между $0.3$ и $10~мкм$ показатель преломления $\mathrm{CaF}_{2}$ определяется формулой $$n^{2}=6.09+\frac{6.12 \cdot 10^{-15}}{\lambda^{2}-8.88 \cdot 10^{-15}}+\frac{5.10 \cdot 10^{-9}}{\lambda^{2}-1.26 \cdot 10^{-9}} \quad(\lambda~в ~м) \tag{5}$$ Запишите уравнение $(2)$ в виде $$n^{2}=A+\frac{C_{1} \lambda_{1}^{4}}{\lambda^{2}-\lambda_{1}^{2}}+\frac{C_{2} \lambda_{2}^{4}}{\lambda^{2}-\lambda_{2}^{2}} \tag{6}$$ Сравнивая его с $(5)$, найдите выражения для $A$, $C_{1}$ и $C_{2}$. Определите $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$, а также отношение $C_{2} / C_{1}$. Предполагая, что осциллятор, ответственный за инфракрасное поглощение, представляет систему из двух ионов $\mathrm{F}^{-}$, смещенных относительно фиксированного иона $\mathrm{Ca}^{++}$, найдите отношение $m_{H} / m_{e}$ – массы протона к массе электрона и сравните его с теоретическим значением $1830\left(m_{F}=19 m_{H}\right)$.

Если в $(2)$ оставить только два первых члена, имеем $$n^{2}=1+\frac{N_{1} q_{1}^{2}}{4 \pi^{2} \varepsilon_{0} m_{1}} \frac{1}{\nu_{1}^{2}-\nu^{2}}+\frac{N_{2} q_{2}^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} m_{2}} \frac{1}{\nu_{2}^{2}-\nu^{2}} \tag{8}$$ Заменяя $\nu$ на $c / \lambda$, получаем $$\begin{aligned} & n^{2}=1+\frac{N_{1} q_{1}^{2}}{4 \pi^{2} \varepsilon_{0} c^{2} m_{1}} \frac{\lambda^{2} \lambda_{1}^{2}}{\lambda^{2}-\lambda_{1}^{2}}+\frac{N_{2} q_{2}^{2}}{4 \pi^{2} \varepsilon_{0} c^{2} m_{2}} \frac{\lambda^{2} \lambda_{2}^{2}}{\lambda^{2}-\lambda_{2}^{2}} \\ & \begin{aligned} n^{2}=1+C_{1} \frac{\lambda^{2} \lambda_{1}^{2}}{\lambda^{2}-\lambda_{1}^{2}} & +C_{2} \frac{\lambda^{2} \lambda_{2}^{2}}{\lambda^{2}-\lambda_{2}^{2}}= \\ & =1+C_{1} \frac{\lambda_{1}^{2}\left(\lambda^{2}-\lambda_{1}^{2}+\lambda_{1}^{2}\right)}{\lambda^{2}-\lambda_{1}^{2}}+C_{2} \frac{\lambda_{2}^{2}\left(\lambda^{2}-\lambda_{2}^{2}+\lambda_{2}^{2}\right)}{\lambda^{2}-\lambda_{2}^{2}} \end{aligned} \end{aligned}$$ $$n^{2}=1+C_{1} \lambda_{1}^{2}+C_{2} \lambda_{2}^{2}+\frac{C_{1} \lambda_{1}^{4}}{\lambda^{2}-\lambda_{1}^{2}}+\frac{C_{2} \lambda_{2}^{4}}{\lambda^{2}-\lambda_{2}^{2}}.$$ Таким образом, $$A=1+C_{1} \lambda_{1}^{2}+C_{2} \lambda_{2}^{2}, \quad C_{1}=\frac{N_{1} q_{1}^{2}}{4 \pi^{2} \varepsilon_{0} c^{2} m_{1}}, \quad C_{2}=\frac{N_{2} q_{2}^{2}}{4 \pi^{2} \varepsilon_{0} c^{2} m_{2}}.$$ Сравнение с эмпирическим выражением $(5)$ дает следующие значения: $$\lambda_{1}=\sqrt{88.8 \cdot 10^{-16}}=9.42 \cdot 10^{-8}~м=942~\overset{\circ}{\mathrm{A}}\text { (ультрафиолетовая область)},$$ $$\lambda_{2}=\sqrt{12.6 \cdot 10^{-10}}=3.55 \cdot 10^{-5}~м=35~ мкм \text {(инфракрасная область)},$$ $$\frac{C_{2}}{C_{1}}=\frac{C_{2} \lambda_{2}^{4}}{C_{1} \lambda_{1}^{4}} \frac{\lambda_{1}^{4}}{\lambda_{2}^{4}}=\frac{5.10 \cdot 10^{-9}}{6.12 \cdot 10^{-15}}\left(\frac{8.88 \cdot 10^{-15}}{1.26 \cdot 10^{-9}}\right)^{2}=4.15 \cdot 10^{5} \frac{N_{2} q_{2}^{2}}{N_{1} q_{1}^{2}} \cdot \frac{m_{1}}{m_{2}}.$$ Первый член в выражении для дисперсии относится к электрону, и $q_{1}=e$, а $m_{1}=m_{e}$. С другой стороны, $q_{2}=e$ (ион $\mathrm{F}^{-}$одновалентен) и $m_{2}=19 m_H$. Имеются два валентных электрона, которые оба являются оптическими, и два иона $\mathrm{F}^{-}$. Считаем, что$N_{1}=N_{2}$. Тогда $$\frac{m_{H}}{m_{e}}=\frac{1}{19 \cdot 4.15 \cdot 10^{-5}}=1270.$$ Эта величина того же порядка, что и отношение $1830$. Подобные приближенные вычисления играли важную роль на рубеже двух столетий, когда использовали предположение об атомной природе осцилляторов, активных в инфракрасной области спектра.

D1  ^?? Покажите, что в рентгеновской области спектра можно пренебречь собственными частотами всех электронов и ионов. Запишите $(2)$ в виде $$n^{2}=1-K \lambda^{2}. \tag{7}$$ Получите выражение для $K$ и его численное значение для меди у которой $A=63$, плотность $\mu=8 \cdot 10^{3}~кг \cdot~м^{-3}$ и атомный номер $Z=29$.

Вычислите значение фазовой скорости $v_{\varphi}$ и групповой скорости $v_{g}$ в рентгеновской области спектра.

Каков должен быть закон дисперсии для среды, удовлетворяющей соотношению $v_{\varphi} v_{g}=c^{2}$, где $c$ – скорость света в вакууме?

В рентгеновской области спектра $\nu$ очень велико (порядка $10^{18}$), а $\lambda$ – очень мало (порядка нескольких ангстрем). Таким образом, $\nu\gg \nu_{1} \gg \nu_{2}$. С другой стороны, массы $m_{2}$ ионов почти в $2000$ раз больше, чем массы электронов, в то время как $N_{1}$ в $(8)$ имеет такой же порядок, как $N_{2}$, а $q_{1}$ – такой же, как $q_{2}$. Следовательно, последним членом в этом выражении можно пренебречь. Тогда, учитывая, что $\nu$ – больше, чем все собственные частоты электронов, имеем $$n^{2} \approx 1-\frac{N e^{2}}{4 \pi^{2} \varepsilon_{0} m_{e} \nu^{2}}=1-\frac{N e^{2} \lambda^{2}}{4 \pi^{2} \varepsilon_{0} c^{2} m_{e}}=1-K \lambda^{2}$$ принимая $$K=\frac{N e^{2}}{4 \pi^{2} \varepsilon_0 c^{2} m_{e}}.$$ $N$ – полное число электронов в единице объема. В каждом атоме $Z$ электронов, поэтому $$N e=N_Ae Z \frac{\mu}{A}$$ Для меди $$N e=9.65 \cdot 10^{7} \cdot 29 \frac{8 \cdot 10^{3}}{63}=3.5 \cdot 10^{11}$$ откуда $$K=35 \cdot 10^{11} \cdot 1.76 \cdot 10^{11} \frac{1}{3.14 \cdot 10^{7}}=2 \cdot 10^{15}$$ По определению $$v_{\varphi}=\frac{c}{n}=\frac{c}{\sqrt{1-K \lambda^{2}}}$$ $$v_{g}=\frac{\partial \nu}{\partial\left(\nu / \nu_{\varphi}\right)}=\frac{\partial \nu}{\partial(n \nu / c)}=\frac{\partial(c / \lambda)}{\partial(n / \lambda)} \tag{9}$$ Из $(7)$ находим $$\left(\frac{n}{\lambda}\right)^{2}+K=\left(\frac{1}{\lambda}\right)^{2}$$ откуда $$v_{g}=n c$$ Тогда имеем $$v_{\varphi} v_{g}=c^{2} \tag{10}$$ Вообще, чтобы удовлетворить соотношению $(10)$, необходимо, чтобы $$v_{g}=n c, \quad \text {так как} \quad v_{\varphi}=\frac{c}{n}.$$ Используя $(9)$, можно получить $$v_{g}=\frac{\mathrm d(c / \lambda)}{\mathrm d(n / \lambda)}=\frac{-c / \lambda^{2}}{1 / \lambda\left(\mathrm d_{n} / \mathrm d \lambda-n / \lambda^{2}\right)}=\frac{c}{n-\lambda(\mathrm d n / \mathrm d \lambda)},$$ таким образом, $$n-\lambda \frac{\mathrm d n}{\mathrm d \lambda}=\frac{c}{n c}=\frac{1}{n},$$ откуда $$\frac{2 n \mathrm d n}{n^{2}-1}=\frac{2 \mathrm d \lambda}{\lambda}.$$ Теперь находим $$n^{2}-1=\operatorname {const }\cdot \lambda^{2}$$ что и является законом дисперсии $(7)$.