Проводящие поверхности имеют одинаковый электростатический потенциал во всех своих точках. При движении проводящих тел заряд по ним перетекает, что приводит к потерям энергии в системе, а уравнения электростатики становятся неприменимыми. Однако в случае нерелятивистских скоростей и достаточно большой проводимости уравнения электростатики можно считать выполнимыми в любой момент времени.

Во всех частях задачи считайте распределение заряда в системе стационарным в любой момент времени, влиянием возникающих магнитных полей и эффектов запаздывания полностью пренебрегайте.

Часть A. Основные уравнения электростатики (1.8 балла)

Проводящий шар заряжен зарядом $q$.

A1  ^0.10 Определите распределение заряда по поверхности шара.

Теперь поместим незаряженный шар радиусом $R$ с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ в однородное поле $\vec{E}$ в вакууме.

A2  ^0.40 Запишите граничные условия для нормальной и касательной компонент электрического поля на границе шара и среды.

Введем угол $\theta$ между направлением поля и радиусом, как показано на рисунке 1.

A3  ^1.20 Используя теорему Гаусса, покажите, что поверхностная плотность заряда на шаре удовлетворяет соотношению\[\varsigma(\theta)=A\cdot\dfrac{\varepsilon-1}{\varepsilon+2}\cdot\cos \theta\]и определите $A$. Ответ выразите через диэлектрическую постоянную $\varepsilon_{0}$ и $E$.

Теперь тот же шар зарядили зарядом $q$.

A4  ^0.10 Запишите распределение заряда по поверхности шара $\varsigma(\theta)$. Ответ выразите через $\varepsilon_{0}$, $E$, $\varepsilon$, $q$, $R$.

Часть B. Стабильная треугольная система (1.9 балла)

Рассмотрим три проводящие (ведущие себя подобно диэлектрику с $\varepsilon\gg1$) сферы радиусом $R$. Их массы $m_1$, $m_2$, $m_3$, заряды $q_1$, $q_2$, $q_3$ соответственно. Считайте выполненным соотношение \[\dfrac{q_1}{m_1}=\dfrac{q_2}{m_2}=\dfrac{q_3}{m_3}.\]

Во всех последующих пунктах задачи нельзя пренебрегать гравитацией, если не сказано иного. Расстояния между сферами всегда считайте во много раз превышающими $R$.

Введём постоянную $\gamma=\sqrt{1-\dfrac{q^{2}}{4\pi G\varepsilon_0m^{2}}},$ где $G$ – гравитационная постоянная. Для всех тел $\gamma > 0,$ сферы в начальный момент времени практически равномерно вращаются вокруг общего центра масс с угловой скоростью $\omega_0.$ Также $M=m_1+m_2+m_3$.

Далее используйте введённые на рисунке 2 обозначения.

B1  ^0.20 Рассмотрев касательные силы, действующие на сферу 1, получите связь на $m_2$, $m_3$, $L_2$, $L_3$, $\sin\alpha$, $\sin\beta$.

B2  ^0.90 Докажите, что $L_1=L_2=L_3=L$.

Далее вы можете использовать факт из пункта B2, даже если не смогли доказать его.

B3  ^0.80 Определите расстояние между сферами $L_0$ в начальный момент времени. Ответ выразите через $G$, $\gamma$, $\omega_0$, $M$.

Подсказка: вам может помочь векторная запись второго закона Ньютона с учетом правильности треугольника.

Часть C. Потери энергии в треугольной системе (3.1 балла)

При описанном движении заряд будет перетекать по поверхностям сфер. Из-за этого возникнет выделение джоулева тепла. 

Все сферы имеют толщину $h\ll R,$ расстояние между ними $L,$ ток в сечении проводника распределен равномерно, проводимость сфер одинакова и равна $\sigma$.

Пусть на участке проводника проводимостью $\sigma$ объёмная плотность тока равна $\vec{j}$ ($|\vec{j}|=\dfrac{\mathrm dI}{\mathrm dS},$ направление вектора совпадает с нормалью к поверхности).

C1  ^0.20 Выразите мощность джоулевых потерь в единице объема $\dfrac{\mathrm dP}{\mathrm dV}$.

Ответ запишите через $j$, $\sigma$.

Для расчёта потерь в системе сначала рассмотрим взаимодействие сферы 1 только со сферой 2. Если вы не решили пункт А3, вы можете принять $A=3\varepsilon_{0}E$. Для этого явно укажите в листе решений использование авторского значения. К потере баллов за последующие пункты это не приведет.

C2  ^0.30 Считая поле, создаваемое шаром 2 в окрестности шара 1, примерно однородным, получите зависимость поверхностной плотности индуцированного заряда $\varsigma(\theta)$. Ответ выразите через $q_2$, $L$, $\theta$.

Нетрудно заметить, что все векторы объемной плотности тока имеют только компоненту $\vec{e}_\theta$. 

C3  ^0.50 Рассматривая поток вектора плотности тока через малый элемент площади $\mathrm dS$, получите дифференциальное уравнение на $j(\theta )$. Уравнение может содержать любые комбинации $j(\theta)$, $R$, $h$, $\theta$, $t$, $\varsigma(\theta)$. Положительное направление вектора плотности тока совпадает с направлением возрастания $\theta$.

C4  ^0.10 Запишите граничное условие на $j(\theta )$. Для этого определите минимальное значение плотности тока на сфере $j_{\min}$.

C5  ^1.00 Выразите модуль объёмной плотности тока $j_{12}(\theta )$. Ответ может содержать $q_2$, $L$, $\theta$, $R$, $h$, $\dot L$.

Для учета взаимодействия с двумя сферами сразу можно воспользоваться принципом суперпозиции. В каждой точке сферы 1 вектор плотности тока $\vec{j}_{13}$, вызванной сферой 3, будет повернут на угол $\psi =\pi /3$ относительно $\vec{j}_{12}$.

Угол $\theta$ всё ещё определён как на рисунке 3.

C6  ^0.30 Выразите для сферы 1 $j^2(\theta )$, учитывая взаимодействие с двумя оставшимися сферами. Ответ выразите через $q_2$, $q_3$, $L$, $\theta$, $R$, $h$, $\dot L$.

C7  ^0.70 Определите полную мощность джоулевых потерь в системе. Ответ выразите через $m_1$, $m_2$, $m_3$, $R$, $h$, $\sigma$, $G$, $\gamma$, $L$, $\dot L$.

Часть D. Колебания треугольника (2.5 балла)

В этой части задачи исследуется эффект влияния поверхностных токов на движение системы. 

В начальный момент времени вращение было практически равномерным, а сторона треугольника имела длину $L_0$. 

В этой части считайте, что треугольник в процессе движения остается правильным.

D1  ^0.30 Определите угловую скорость вращения системы $\omega$ в момент, когда расстояние между сферами равно $L$. Ответ выразите через $G$, $\gamma$, $L_0$, $M$, $L$.

D2  ^1.20 Выразите полную энергию системы $W$. Ответ может содержать $G$, $\gamma$, $\omega_0$, $M$, $L$, $m_1$, $m_2$, $m_3$, $\dot L$.

D3  ^0.30 Дифференцируя $W$ по времени, получите дифференциальное уравнение на $L$. Выражение может содержать длину стороны треугольника $L$, ее производные по времени, $G$, $\gamma$, $L_0$, $M$, $m_1$, $m_2$, $m_3$, $R$, $h$, $\sigma$.

Сторона треугольника совершила малое отклонение $x_0$ от равновесного состояния.

D4  ^0.50 В первом порядке малости по смещению $x$ и его производным получите уравнение движения системы. Ответ выразите через $G$, $x$, $\gamma $, $ \dot x$, $\ddot x$, $M$, $L_0$, $R$, $h$, $\sigma$.

Полученное вами уравнение является уравнением затухающих колебаний.

D5  ^0.20 В листе ответов сделайте обоснованный вывод об устойчивости треугольной системы.

Часть E. Разрядка в окружающую среду (2.7 балла)

На самом деле, окружающая среда неидеальна и обладает проводимостью $\sigma_\mathrm{out}$, поэтому сферы медленно теряют свой заряд. Внешнее электрическое поле в среде отсутствует. Чтобы пронаблюдать описываемый эффект, в этой части задачи считайте, что диэлектрическая проницаемость среды близка к единице, но при этом обладает величиной $\kappa=\varepsilon-1\ll 1$, а так как сферы находятся далеко друг от друга, эти величины неодинаковы в окрестностях сфер и равны $\kappa_1<\kappa_2<\kappa_3$ соответственно.

E1  ^0.30 Для сферы 1 получите дифференциальное уравнение на его заряд $Q_1(t)$ в зависимости от времени. Уравнение может включать в себя $Q_1(t)$, его производные по времени, $\sigma_\mathrm{out}$, $\varepsilon_0$, $\kappa_1$.

E2  ^0.30 Решите это уравнение с граничным условием $Q_1(0)=q_1$. Получите выражение для характерного времени разрядки тела 1 $\tau_1$. Ответ выразите через $\sigma_\mathrm{out}$, $\varepsilon_0$.

В дальнейшем считайте для всех трех шаров выполненным условие $\tau_1, \tau_2, \tau_3\gg 1/\omega$ в любой момент времени.

E3  ^0.30 Укажите в листе ответов, к какой сфере будет прилежать наибольший угол в треугольнике, возникающий в процессе движения.

Далее используйте численные данные: $\gamma=0.25$, $\kappa_1=5.0\cdot 10^{-4}$, $\kappa_2=6.0\cdot 10^{-4}$, $\kappa_3=7.0\cdot 10^{-4}$, $\varepsilon_0=8.85\cdot 10^{-12}~Ф/м$, $\sigma_\mathrm{out}=5.0\cdot 10^{-16}~См/м$.
Примечание: $1~ См=1/~Ом$, $1{''}=1/3600^\circ.$

E4  ^1.80 Численно определите максимальный угол отклонения от равновесного значения $\zeta$ в треугольнике в процессе последующего движения, считая $\zeta\ll 1$.