Центр масс вешалки лежит на прямой, которая одновременно является высотой, медианой и биссектрисой равнобедренного треугольника. Обозначим $S_{a}, S_{\sigma}, S_{\theta}$ расстояния от центра масс до точек подвеса в случаях, изображенных на рисунке.
При отклонении вешалки на малый угол $\alpha$ от положения равновесия на нее будет действовать момент сил $M$, возвращающий ее к первоначальному положению:\[M=-m g S \alpha .\]Используя второй закон динамики для вращательного движения:\[M=I \varepsilon=I \alpha^{\prime \prime},
\]получим дифференциальное уравнение\[
\alpha^{\prime \prime}=-\frac{m g S}{I} \alpha .
\]Решением этого уравнения является гармоническая функция с периодом
\begin{equation*}
T=2 \pi \sqrt{\frac{I}{m g S}}, \tag{1}
\end{equation*}где $I$ – момент инерции вешалки относительно оси колебаний.
Согласно теореме Штейнера
\begin{equation*}
I=I_{0}+m S^{2}, \tag{2}
\end{equation*}где $I_{0}$ – момент инерции вешалки относительно ее центра масс, $S$ расстояние от центра масс до оси колебаний.
Из выражений (1) и (2) получаем:\begin{gather*}
T=2 \pi \sqrt{\frac{I_{0}+m S^{2}}{m g S}} \\
I_{0}+m S^{2}=m g S(T / 2 \pi)^{2} \\
S^{2}-g S(T / 2 \pi)^{2}+I_{0} / m=0 \tag{3}
\end{gather*}
Так как по условию периоды колебаний вешалки во всех трех случаях равны, то уравнение (3) имеет не более двух корней. Другими словами, два значения из трех: $S_{a}, S_{6}, S_{6}$ – равны между собой.
Учитывая соотношение $S_{s}>S_{a}+S_{б}$; получаем, что равными могут быть только расстояния $S_{a}$ и $S_{\sigma}$.
Из условий $S_{a}=S_{\text {б }}$ и $S_{a}+S_{\sigma}=10~см$ получаем: $S_{a}=S_{\sigma}=5~см$, а $S_{\theta}=\sqrt{21^{2}+5^{2}}=21.6~ см$ .
Зная два разных корня $S_{1}$ и $S_{2}$ уравнения (3), из теоремы Виета следует\[
S_{1}+S_{2}=g(T / 2 \pi)^{2},
\]откуда\[
T=2 \pi \sqrt{\frac{S_{1}+S_{2}}{g}}=2 \pi \sqrt{\frac{S_{a}+S_{b}}{g}} .
\]Подстановка числовых данных приводит к результату: $T=1.03~ с$.