Спонтанное вращение малых сферических и цилиндрических объектов, погруженных в жидкие диэлектрики и подверженных воздействию сильных электростатических полей, впервые было зафиксировано Георгом Квинке в 1896 году. В экспериментах Квинке использовал стеклянные шары и цилиндры, подвешенные на шелковых нитях. В настоящее время этот эффект удалось воспроизвести для капель жидкости и диэлектрических шаров, плавающих в проводящей жидкости.
Рассмотрим длинный однородный непроводящий цилиндр из вещества с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_1$, помещенный в бесконечную среду с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_2$. Ось симметрии цилиндра совпадает с осью $z$, радиус цилиндра $R$, длина $L \gg R$. Внешнее однородное электрическое поле $\vec{E}_0$ направлено перпендикулярно оси симметрии цилиндра. Всеми краевыми эффектами, связанными с конечной длиной цилиндра, пренебрегайте.
Примечание: в проводящей среде объемная плотность тока связана с электрическим полем соотношением $\vec{j} =\lambda \vec{E}$, где $\lambda$ – проводимость среды.
Примечание: граничные условия на нормальные компоненты электрического поля можно получить, рассматривая нормальные составляющие плотности тока на границе цилиндра и среды. По цилиндру не течет поверхностных токов.
Пусть цилиндр из предыдущей части вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг своей оси. Считаем, что $\omega> 0$ если угловая скорость направлена вдоль оси $z$. Положительное направление отсчета угла $\theta$ совпадает с направлением вращения цилиндра. Проводимость цилиндра равна $\lambda_1$, а проводимость среды – $ \lambda_2$, диэлектрическая проницаемость цилиндра равна $\varepsilon_1$, а среды – $\varepsilon_2$. В среде на большом расстоянии от цилиндра создано однородное внешнее электрическое поле $\vec{E}_0$, направление которого соответствует $\theta = 0$.
Во всех последующих пунктах задачи примите следующие допущения:
Рассмотрим границу цилиндра и жидкости. Величины, относящиеся к внутренней части цилиндра будем обозначать индексом 1, а величины снаружи цилиндра – индексом 2. Нормальные ($n$) и касательные ($\tau$) составляющие электрического поля обозначим соответственно $E_{1n}$, $E_{2n}$, $E_{1\tau}$, $E_{2\tau}$. Положительное направление нормали направлено наружу. За счет внешнего тока на поверхности цилиндра накапливаются свободные заряды с поверхностной плотностью $\sigma_f(\theta)$. В ответы во всех пунктах этой части могут входить проводимости и диэлектрические проницаемости этих сред.
Перейдем во вращающуюся систему отсчета цилиндра. В этой системе отсчета действующее на цилиндр электрическое поле вращается по часовой стрелке:
$$
\vec{E} = E_0 (\vec{e}_x \cos \omega t - \vec{e}_y \sin \omega t ).
$$Далее удобно использовать комплексную запись $$ \vec{E} =\operatorname{Re}[\vec{E}_0^* e^{-i \omega t}],$$где $\vec{E}_0^*$ – комплексная амплитуда электрического поля. Для рассматриваемого поля она имеет вид $\vec E_0^*=E_0(\vec e_x-i\vec e_y)$. Направление осей $x$, $y$ указано в начале задачи. Аналогичным образом можно записать однородное электрическое поле внутри цилиндра $\vec{E}_1$ и его линейную плотность дипольного момента:
$$
\vec{E_1} = \operatorname{Re}[\vec{E}_1^* e^{-i \omega t}], \quad \vec{p} = \operatorname{Re}[\vec{p}^{*} e^{-i \omega t}].
$$Аналогично можно записать уравнения для любой компоненты поля в любой точке. Тогда оказывается, что граничные условия из пункта B3 можно переписать в виде
\[\varepsilon_1^*(\omega)E_{1n}^*=\varepsilon_2^* (\omega)E_{2n}^*,\]где $\varepsilon_1^*(\omega)$, $\varepsilon_2^*(\omega)$ – комплексные диэлектрические проницаемости.
\[ \varepsilon_1^* = \varepsilon_1 + \frac{i \lambda_1}{\varepsilon_0 \omega}, \quad \varepsilon_2^* = \varepsilon_2 + \frac{i \lambda_2}{\varepsilon_0 \omega}.\]
Далее эти формулы можно использовать без доказательства.
Примечание: Поскольку цилиндр вращается с угловой скоростью $\omega$, $d\theta/dt = + \omega$ и производную по углу $\theta$ можно выразить через производную по времени во вращающейся системе отсчета.
Таким образом вид граничных условий формально совпадет с граничными условиями для неподвижного цилиндра. Поэтому выражения для $\vec{E}_1^*$ и $\vec{p}^*$ можно получить из выражения для дипольного момента цилиндра из A4, формально заменив диэлектрические проницаемости на комплексные значения.
Поскольку комплексная амплитуда $\vec{p}^*$ отличается от $\vec{E}_0^*$ только общим комплексным множителем, дипольный момент цилиндра повернут на постоянный угол относительно электрического поля. Значит, в лабораторной системе отсчета дипольный момент цилиндра постоянен. Его удобно вычислять в момент времени $t = 0$, когда угол поворота равен 0.
Найденный выше дипольный момент совпадает с фактическим дипольным моментом цилиндра и поляризационных зарядов жидкости вокруг него, поэтому его можно использовать для вычисления момента сил.
Максимальная угловая скорость, до которой может разогнаться цилиндр, ограничена силами вязкого трения. Пусть вязкость жидкости, окружающей цилиндр, равна $\eta$. Определим проекцию момента сил вязкого трения на ось $z$, $M_\eta$. Цилиндр можно по-прежнему считать очень длинным, $L \gg R$. Угловая скорость вращения цилиндра $\omega$. Распределение скоростей жидкости в каждый момент времени считайте установившимся.
При установившемся движении скорость жидкости $v(r)$ в каждой точке направлена по касательной к окружности с центром на оси цилиндра, проходящей через рассматриваемую точку. Величина скорости зависит только от расстояния до оси цилиндра. Для удобства вычисления силы вязкости введем угловую скорость жидкости $\omega(r)$ с помощью соотношения $v(r) =r \omega(r)$. Тогда касательное напряжение (т.е. отношение касательной силы к площади), создаваемое силами вязкости, равно $$\tau_{\theta z} = \eta r \frac{\partial \omega(r)}{\partial r}.
$$