Спонтанное вращение малых сферических и цилиндрических объектов, погруженных в жидкие диэлектрики и подверженных воздействию сильных электростатических полей, впервые было зафиксировано Георгом Квинке в 1896 году. В экспериментах Квинке использовал стеклянные шары и цилиндры, подвешенные на шелковых нитях. В настоящее время этот эффект удалось воспроизвести для капель жидкости и диэлектрических шаров, плавающих в проводящей жидкости.

Часть A. Электростатика (4.0 балла)

A1  ^0.40 Бесконечная однородно заряженная тонкая нить находится в вакууме. Нить расположена по оси $z$, линейная плотность заряда $\kappa$. Определите зависимость электростатического потенциала этой нити $\varphi(r)$ во всем пространстве с точностью до константы. Ответ выразите через $\varepsilon_0$, $\kappa$, $r$.

A2  ^0.40 Теперь добавим вторую нить с противоположной линейной плотностью заряда $-\kappa$, параллельную исходной, на очень малом расстоянии до нее. Дипольный момент единицы длины данной конструкции постоянен и равен $\vec p$. Определите зависимость электростатического потенциала этой дипольной линии $\varphi(\vec r)$ во всем пространстве. Потенциал на большом расстоянии от дипольной линии стремится к нулю. Ответ выразите через $\varepsilon_0$, $\vec p$, $\vec r$.

A3  ^0.60 Дифференцируя выражение, полученное в предыдущем пункте, найдите электрическое поле $\vec{E}(\vec{r})$ во всем пространстве. Ответ выразите через $\varepsilon_0$, $\vec p$, $\vec{r}$.

Рассмотрим длинный однородный непроводящий цилиндр из вещества с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_1$, помещенный в бесконечную среду с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_2$. Ось симметрии цилиндра совпадает с осью $z$, радиус цилиндра $R$, длина $L \gg R$. Внешнее однородное электрическое поле $\vec{E}_0$ направлено перпендикулярно оси симметрии цилиндра. Всеми краевыми эффектами, связанными с конечной длиной цилиндра, пренебрегайте.

A4  ^0.60 Покажите, что распределение поля в пространстве вне цилиндра равно суперпозиции однородного внешнего поля $\vec E_0$ и поля дипольной линии с линейной плотностью дипольного момента $\vec p$. Используйте выражение для поля дипольной линии в вакууме. Определите $\vec p$. Ответ выразите через $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$, $\vec{E}_0$, $\varepsilon_0$, $R$. Найденное вами значение $\vec{p}$ включает в себя как дипольный момент цилиндра, так и дипольный момент поляризационных зарядов среды.

A5  ^0.30 Определите зависимость электрического поля $\vec{E}(\vec{r})$ во всем пространстве. Ответ выразите через $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$, $\vec{E}_0$, $\vec{r}$.

A6  ^1.00 Пусть проводимость и диэлектрическая проницаемость цилиндра $\lambda_1$, $\varepsilon_1$, а окружающей среды $\lambda_2$, $\varepsilon_2$. Электрическое поле на большом расстоянии от цилиндра $\vec{E}_0$. Распределение тока полностью установилось. Известно, что поле снаружи цилиндра все еще равно суперпозиции внешнего поля и поля диполя, а поле внутри цилиндра однородно. Однако теперь на поверхности цилиндра возникает распределение свободных (не связанных с поляризацией) зарядов с плотностью $\sigma_f(\theta)$. Определите объемную плотность тока $\vec{j_1}$ внутри цилиндра и поверхностную плотность заряда $\sigma_f (\theta)$ в зависимости от угла $\theta$. Направлению $\vec{E}_0$ отвечает $\theta = 0$.

Примечание: в проводящей среде объемная плотность тока связана с электрическим полем соотношением $\vec{j} =\lambda \vec{E}$, где $\lambda$ – проводимость среды.

Примечание: граничные условия на нормальные компоненты электрического поля можно получить, рассматривая нормальные составляющие плотности тока на границе цилиндра и среды. По цилиндру не течет поверхностных токов. 

A7  ^0.70 Пусть теперь цилиндр идеально проводящий, а проводимость окружающей его среды $\lambda_2$, ее диэлектрическая проницаемость $\varepsilon_2$. Внешнее электрическое поле отсутствует. Начальный заряд цилиндра равен $q_0$. Найдите зависимость заряда цилиндра $q(t)$ от времени. Получите выражение для времени $\tau_2$, за которое заряд цилиндра уменьшается в 2 раза. Ответы выразите через $\lambda_2$, $\varepsilon_0$, $\varepsilon_2$.

Часть B. Вращающийся цилиндр (5.0 балла)

Пусть цилиндр из предыдущей части вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг своей оси. Считаем, что $\omega> 0$ если угловая скорость направлена вдоль оси $z$. Положительное направление отсчета угла $\theta$ совпадает с направлением вращения цилиндра. Проводимость цилиндра равна $\lambda_1$, а проводимость среды – $ \lambda_2$, диэлектрическая проницаемость цилиндра равна $\varepsilon_1$, а среды – $\varepsilon_2$. В среде на большом расстоянии от цилиндра создано однородное внешнее электрическое поле $\vec{E}_0$, направление которого соответствует $\theta = 0$.

Во всех последующих пунктах задачи примите следующие допущения:

• В установившемся режиме заряд стационарно распределен в пространстве относительно лабораторной системы отсчета.
• Рассматриваемые в задаче токи достаточно малы, поэтому магнитным полем полностью пренебрегайте.

Рассмотрим границу цилиндра и жидкости. Величины, относящиеся к внутренней части цилиндра будем обозначать индексом 1, а величины снаружи цилиндра – индексом 2. Нормальные ($n$) и касательные ($\tau$) составляющие электрического поля обозначим соответственно $E_{1n}$, $E_{2n}$, $E_{1\tau}$, $E_{2\tau}$. Положительное направление нормали направлено наружу. За счет внешнего тока на поверхности цилиндра накапливаются свободные заряды с поверхностной плотностью $\sigma_f(\theta)$. В ответы во всех пунктах этой части могут входить проводимости и диэлектрические проницаемости этих сред.

B1  ^0.10 Запишите соотношение между касательными компонентами электрических полей на границе раздела среды и цилиндра.

B2  ^0.50 При движении цилиндра свободные заряды на поверхности цилиндра вращаются вместе с ним. Поэтому на поверхности цилиндра возникает поверхностная плотность тока $i (\theta)$. Выразите ее через $\omega$, $R$ и плотность свободных зарядов. Величина $i(\theta)$ считается положительной, если ток направлен в сторону возрастания $\theta$.

B3  ^0.70 Рассмотрим малый участок поверхности цилиндра, отвечающий интервалу углов $(\theta_0, \theta_0 + d\theta)$ площади $dS = RL d\theta$. Через границы $\theta = \theta_0$ в него втекает заряд за счет $i(\theta_0)$, через границу при $\theta = \theta_0 + d\theta$ вытекает ток за счет $i(\theta_0 + d\theta)$. Также в него втекает нормальный ток с плотностью $j_{1n}$ и вытекает нормальный ток с плотностью $j_{2n}$. В установившемся режиме полный заряд рассматриваемой области не меняется. Запишите следующее из закона сохранения заряда соотношение между токами $i(\theta_0)$, $i(\theta_0 + d\theta)$, $j_{1n}$, $j_{2n}$. В ответ также может входить $R$ и $d\theta$.

B4  ^0.50 В соотношение из предыдущего пункта подставьте выражения для нормальных токов через нормальные компоненты электрического поля и поверхностных токов через плотность заряда. Получите связь между $E_{1n}$, $E_{2n}$, $\omega$, $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\partial \sigma_f/\partial \theta$.

B5  ^0.40 Выразите плотность свободных зарядов $\sigma_f$ через компоненты электрического поля вблизи границы. Используя результаты пункта B4, получите отсюда соотношение только между компонентами электрического поля $E_{1n}$, $E_{2n}$ и их производными по $\theta$. В ответ также могут входить $\varepsilon_1$, $\lambda_1$, $\varepsilon_2$, $\lambda_2$, $\omega$.

Перейдем во вращающуюся систему отсчета цилиндра. В этой системе отсчета действующее на цилиндр электрическое поле вращается по часовой стрелке:
$$
\vec{E} = E_0 (\vec{e}_x \cos \omega t - \vec{e}_y \sin \omega t ).
$$Далее удобно использовать комплексную запись $$ \vec{E} =\operatorname{Re}[\vec{E}_0^* e^{-i \omega t}],$$где $\vec{E}_0^*$ – комплексная амплитуда электрического поля. Для рассматриваемого поля она имеет вид $\vec E_0^*=E_0(\vec e_x-i\vec e_y)$. Направление осей $x$, $y$ указано в начале задачи. Аналогичным образом можно записать однородное электрическое поле внутри цилиндра $\vec{E}_1$ и его линейную плотность дипольного момента:
$$
\vec{E_1} = \operatorname{Re}[\vec{E}_1^* e^{-i \omega t}], \quad \vec{p} = \operatorname{Re}[\vec{p}^{*} e^{-i \omega t}].
$$Аналогично можно записать уравнения для любой компоненты поля в любой точке. Тогда оказывается, что граничные условия из пункта B3 можно переписать в виде
\[\varepsilon_1^*(\omega)E_{1n}^*=\varepsilon_2^* (\omega)E_{2n}^*,\]где $\varepsilon_1^*(\omega)$, $\varepsilon_2^*(\omega)$ – комплексные диэлектрические проницаемости.

B6  ^0.50 Покажите, что выражения для комплексных проницаемостей можно записать в виде 

\[ \varepsilon_1^* = \varepsilon_1 + \frac{i \lambda_1}{\varepsilon_0 \omega}, \quad  \varepsilon_2^* = \varepsilon_2 + \frac{i \lambda_2}{\varepsilon_0 \omega}.\]

Далее эти формулы можно использовать без доказательства. 

Примечание: Поскольку цилиндр вращается с угловой скоростью $\omega$, $d\theta/dt = + \omega$ и производную по углу $\theta$ можно выразить через производную по времени во вращающейся системе отсчета. 

Таким образом вид граничных условий формально совпадет с граничными условиями для неподвижного цилиндра. Поэтому выражения для $\vec{E}_1^*$ и $\vec{p}^*$ можно получить из выражения для дипольного момента цилиндра из A4, формально заменив диэлектрические проницаемости на комплексные значения.

B7  ^0.50 Определите комплексную амплитуду линейной плотности дипольного момента цилиндра $\vec p ^*$. Ответ выразите через $\varepsilon_1$, $\lambda_1$, $\varepsilon_2$, $\lambda_2$, $\omega$, $\varepsilon_0$, $R$, $\vec E_0^*$.

Поскольку комплексная амплитуда $\vec{p}^*$ отличается от $\vec{E}_0^*$ только общим комплексным множителем, дипольный момент цилиндра повернут на постоянный угол относительно электрического поля. Значит, в лабораторной системе отсчета дипольный момент цилиндра постоянен. Его удобно вычислять в момент времени $t = 0$, когда угол поворота равен 0.

B8  ^0.80 Определите проекции на оси $x$ и $y$ вектора $\vec p$ в лабораторной системе отсчета.

Найденный выше дипольный момент совпадает с фактическим дипольным моментом цилиндра и поляризационных зарядов жидкости вокруг него, поэтому его можно использовать для вычисления момента сил.

B9  ^0.60 Определите проекцию момента сил $M_{E}$, действующего на цилиндр (с окружающими его поляризационными зарядами среды) со стороны внешнего электрического поля, на ось $z$. Ответ выразите через $E_0$, $\varepsilon_0$, $\omega$, $\varepsilon_1$, $\lambda_1$, $\varepsilon_2$, $\lambda_2$, $R$, $L$.

B10  ^0.40 При определенном соотношении между параметрами системы полученный выше момент сил вызывает дальнейшее увеличение угловой скорости цилиндра. Укажите соотношение между параметрами, при котором это возможно.

Часть C. Цилиндр в жидкости (3.0 балла)

Максимальная угловая скорость, до которой может разогнаться цилиндр, ограничена силами вязкого трения. Пусть вязкость жидкости, окружающей цилиндр, равна $\eta$. Определим проекцию момента сил вязкого трения на ось $z$, $M_\eta$. Цилиндр можно по-прежнему считать очень длинным, $L \gg R$. Угловая скорость вращения цилиндра $\omega$. Распределение скоростей жидкости в каждый момент времени считайте установившимся.

C1  ^0.70 Момент сил можно записать в виде $M_\eta = -\alpha \eta^a \omega^b R^c L^d$, где $\alpha$ – безразмерная постоянная. Используя метод размерностей и физические соображения, определите показатели степени $a$, $b$, $c$, $d$.

При установившемся движении скорость жидкости $v(r)$ в каждой точке направлена по касательной к окружности с центром на оси цилиндра, проходящей через рассматриваемую точку. Величина скорости зависит только от расстояния до оси цилиндра. Для удобства вычисления силы вязкости введем угловую скорость жидкости $\omega(r)$ с помощью соотношения $v(r) =r \omega(r)$. Тогда касательное напряжение (т.е. отношение касательной силы к площади), создаваемое силами вязкости, равно $$\tau_{\theta z} = \eta r \frac{\partial \omega(r)}{\partial r}.
$$

C2  ^0.30 Найдите момент сил вязкого трения $M$, действующий на внешнюю сторону цилиндрического слоя жидкости радиуса $r$, где $r> R$. Выразите ответ через $\eta$, $r$, $L$, $\frac{\partial \omega}{\partial r}$.

C3  ^1.20 Определите коэффициент $\alpha$ в формуле для момента сил $M_{\eta}$.

C4  ^0.30 Сообщим цилиндру маленькую угловую скорость $\delta \omega$. Если внешнее электрическое поле больше некоторого критического значения $E_0 > E_{cr}$, угловая скорость будет возрастать. Выразите критическое поле $E_{cr}$ через $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$ $\varepsilon_0$, $\eta$, $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\alpha$.

C5  ^0.50 Пусть $E_0 > E_{cr}$. Определите установившуюся угловую скорость цилиндра $\omega_0$.
Ответ выразите через $E_0$, $E_{cr}$, $\varepsilon_0$, $\varepsilon_1$, $\lambda_1$ , $\varepsilon_2$, $\lambda_2$.