|
1
Записано электрическое поле нити $$ E(r)=\dfrac{\kappa}{2\pi\varepsilon_0 r} $$ |
0.20 |
|
|
2
Ответ $$ \varphi(r)=-\dfrac{\kappa}{2\pi\varepsilon_0 }\ln{\frac{r}{a}} $$ |
0.20 |
|
|
1
Записан потенциал пары нитей $$ \varphi(\vec{r})=\dfrac{\kappa}{2\pi\varepsilon_0 }\ln{\dfrac{r_-}{r_+}} $$ |
0.20 |
|
| 2 Ответ \[\varphi(\vec{r})=\dfrac{ \vec r \vec p}{2\pi\varepsilon_0 r^2}\] | 0.20 |
|
| 1 Корректный метод дифференцирования | 0.30 |
|
| 2 Ответ \[\vec E(r)=\cfrac{1}{2\pi\varepsilon_0r^2}\left( \frac{2(\vec{r}\vec{p})\vec{r}}{r^2} - \vec{p}\right)\] | 0.30 |
|
| 1 Записаны граничные условия для нормальной и касательной компонент поля | 2 × 0.10 |
|
| 2 Записаны два уравнения, из которых можно найти $\vec{p}$ | 2 × 0.10 |
|
| 3 Ответ \[\vec p=2\pi\varepsilon_0R^2\cfrac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2} \vec{E}_0\] | 0.20 |
|
|
1
Выражение для поля внутри цилиндра \[\vec{E}_{\text{in}} = \frac{2\varepsilon_2}{\varepsilon_1 + \varepsilon_2} \vec{E}_0\] |
0.10 |
|
|
2
Выражение для поля снаружи цилиндра \[\vec{E}_{\text{out}} = \vec{E}_0 + \frac{(\varepsilon_1 - \varepsilon_2) R^2}{\varepsilon_1 + \varepsilon_2} \cdot \left(\frac{2(\vec{r}\vec{E}_0) \vec{r}}{r^4}-\dfrac{ \vec{E}_0}{r^2}\right)\] |
0.20 |
|
Примечание: в проводящей среде объемная плотность тока связана с электрическим полем соотношением $\vec{j} =\lambda \vec{E}$, где $\lambda$ – проводимость среды.
Примечание: граничные условия на нормальные компоненты электрического поля можно получить, рассматривая нормальные составляющие плотности тока на границе цилиндра и среды. По цилиндру не течет поверхностных токов.
| 1 Использовано условие равенства касательных компонент электрического поля | 0.10 |
|
| 2 Корректно записано условие равенства токов $j_{1n} = j_{2n}$ | 0.20 |
|
| 3 Записана система для определения поля внутри цилиндра или явно использована аналогия с задачей о диэлектрическом цилиндре | 0.10 |
|
| 4 Ответ для тока \[\vec{j_1} = \frac{2\lambda_1\lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2} \vec{E}_0\] | 0.20 |
|
| 5 Связь поверхностной плотности заряда и нормальных компонент электрического поля | 0.20 |
|
| 6 Ответ \[\sigma_f = 2\varepsilon_0E_0\cfrac{\varepsilon_2\lambda_1 - \varepsilon_1\lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}\cos\theta\] | 0.20 |
|
| 1 Связь тока из проводника с потоком электрического поля или выражение для плотности тока в случае цилиндра | 0.20 |
|
| 2 Получено дифференциальное уравнение для заряда | 0.20 |
|
|
3
Зависимость от времени $$ q = q_0e^{-\cfrac{\lambda_2t}{\varepsilon_0\varepsilon_2}} $$ |
0.20 |
|
| 4 Значение $$\tau_2 = \frac{\varepsilon_0\varepsilon_2}{\lambda_2}\ln(2)$$ | 0.10 |
|
| 1 $E_{1\tau} = E_{2\tau}$ | 0.10 |
|
| 1 Ответ $i(\theta) = R\omega\sigma_f(\theta)$ | 0.50 |
|
|
1
Корректные выражения для четырех втекающих (или вытекающих) зарядов \[Li(\theta_0) - Li(\theta_0 + d\theta) + dSj_{1n} -dSj_{2n} = 0\] |
4 × 0.10 |
|
| 2 Сумма зарядов равна 0 | 0.10 |
|
| 3 Записано выражение через требуемые величины \[i(\theta_0) - i(\theta_0 + d\theta) + R(j_{1n} -j_{2n})d\theta = 0\] | 0.20 |
|
| 1 Использовано соотношение $j_{i,n} = \lambda_{i} E_{i, n}$ | 0.10 |
|
| 2 Подставлено выражение для $i$ через $\sigma_f$ | 0.10 |
|
| 3 Переход от разности к производный | 0.10 |
|
| 4 Ответ \[-\omega\dfrac{\partial \sigma_f}{\partial \theta}+ \lambda_1E_{1n} - \lambda_2E_{2n} = 0\] | 0.20 |
|
| 1 Использовано соотношение \[-\varepsilon_0\varepsilon_1E_{n1} + \varepsilon_0\varepsilon_2E_{n2} = \sigma_f\] | 0.20 |
|
|
2
Ответ $$ \lambda_1 E_{1n} + \omega \varepsilon_1 \varepsilon_0 \frac{\partial E_{1n}}{\partial \theta} = \lambda_2 E_{2n} + \omega \varepsilon_2 \varepsilon_0 \frac{\partial E_{2n}}{\partial \theta} $$ |
0.20 |
|
\[ \varepsilon_1^* = \varepsilon_1 + \frac{i \lambda_1}{\varepsilon_0 \omega}, \quad \varepsilon_2^* = \varepsilon_2 + \frac{i \lambda_2}{\varepsilon_0 \omega}.\]
Далее эти формулы можно использовать без доказательства.
Примечание: Поскольку цилиндр вращается с угловой скоростью $\omega$, $d\theta/dt = + \omega$ и производную по углу $\theta$ можно выразить через производную по времени во вращающейся системе отсчета.
| 1 Корректный переход от производных по углам к производной по времени | 0.10 |
|
| 2 Корректно продифференцированы экспоненты $e^{-i \omega t}$ | 0.20 |
|
| 3 Получены граничное условие с правильными $\varepsilon_1^*$, $\varepsilon_2^*$ | 0.20 |
|
| 1 Использована формула из A4 с комплексными диэлектрическими проницаемостями | 0.20 |
|
| 2 Ответ \[\vec p^*=2\pi\varepsilon_0R^2\dfrac{\varepsilon_1-\varepsilon_2+\dfrac{i(\lambda_1-\lambda_2)}{\omega\varepsilon_0}}{\varepsilon_1+\varepsilon_2+\dfrac{i(\lambda_1+\lambda_2)}{\omega\varepsilon_0}} \vec{E}_0^*\] | 0.30 |
|
| 1 Корректная связь проекций $p_x$, $p_y$ с комплексной амплитудой $\vec{p}^*$ | 0.40 |
|
| 2 \[p_x=2\pi R^2\varepsilon_0 E_0\dfrac{(\omega\varepsilon_0)^2(\varepsilon_1^2-\varepsilon_2^2)+\lambda_1^2-\lambda_2^2 }{(\lambda_1 + \lambda_2)^2 + (\omega \varepsilon_0)^2 (\varepsilon_1 + \varepsilon_2)^2},\]\[p_y=-4\pi\omega R^2\varepsilon_0^2E_0\dfrac{(\varepsilon_1\lambda_2-\varepsilon_2\lambda_1) }{(\lambda_1 + \lambda_2)^2 + (\omega \varepsilon_0)^2 (\varepsilon_1 + \varepsilon_2)^2}\] | 2 × 0.20 |
|
| 1 Общая формула для момента сил, действующих на диполь $\vec{M} = \vec{d} \times \vec{E}$ ($\vec{d}$ – полный дипольный момент) | 0.10 |
|
| 2 Для рассматриваемого случая получено $M_E = - p_y E_0 L$ | 0.20 |
|
| 3 Ответ \[M_E=4\pi\omega LR^2\varepsilon_0^2E_0^2\dfrac{(\varepsilon_1\lambda_2-\varepsilon_2\lambda_1) }{(\lambda_1 + \lambda_2)^2 + (\omega \varepsilon_0)^2 (\varepsilon_1 + \varepsilon_2)^2}\] | 0.30 |
|
| 1 Указано, что коэффициент перед $\omega $ должен быть больше нуля или аналогичное утверждение | 0.20 |
|
| 2 Ответ $\varepsilon_1 \lambda_2 > \varepsilon_2 \lambda_1$ | 0.20 |
|
| 1 Указано, что $d = 1$ | 0.20 |
|
| 2 Корректно записаны уравнения для определения показателей из размерности | 0.20 |
|
| 3 $a = b = 1$, $c = 2$ | 3 × 0.10 |
|
| 1 Ответ \[M =\tau_{\theta z}\cdot S\cdot r= 2\pi \eta r^3L \frac{\partial \omega}{\partial r}\] | 0.30 |
|
| 1 Указано или используется. что момент, действующий на цилиндр, не зависит от радиуса цилиндра | 0.30 |
|
| 2 Получено дифференциальное уравнение на $\omega(r)$ | 0.20 |
|
| 3 Найдена зависимость $\omega(r)$ или записан интеграл с верными пределами | 0.30 |
|
| 4 Ответ $\alpha = 4\pi$ | 0.40 |
|
| 1 Указано, что коэффициент в моменте сил при малых $\omega$ должен быть положительным | 0.10 |
|
| 2 \[E_{cr}=\sqrt{\dfrac{\alpha\eta}{4\pi\varepsilon_0^2}\dfrac{(\lambda_1+\lambda_2)^2}{(\varepsilon_1\lambda_2-\varepsilon_2\lambda_1)}} \] | 0.20 |
|
| 1 Указано или используется, что суммарный момент сил равен 0 | 0.20 |
|
|
2
Ответ $$ \omega_0 = \frac{\lambda_1 + \lambda_2}{\varepsilon_0 (\varepsilon_1 + \varepsilon_2)} \sqrt{\frac{E_0^2}{E_{cr}^2}-1} $$ |
0.30 |
|
| 3 Ответ не выражен через требуемые величины | -0.10 |
|