В этой части обсуждается потенциальное соударение Земли и астероида, а также возможность предотвратить такое соударение. В этой части вам могут потребоваться следующие данные:
Параметры астероида:
Рассмотрим, как избежать такого соударения. Для этого к астероиду доставляется бомба, в результате взрыва которой астероиду сообщается дополнительный импульс $\Delta p$.
В этой части рассмотрим движение частицы массы $m$ в центральном поле, потенциальная энергия частицы в котором $U(r)$. Хорошо известно, что в гравитационном поле точечной массы $U = - A/r$ ограниченные траектории представляют собой эллипсы, а значит замкнуты. При произвольной зависимости потенциальной энергии от расстояния также можно найти замкнутые траектории, например окружности. Однако, при небольшом изменении начальных условий, траектории размыкаются и заполняют собой некоторую область пространства.
Оказывается, можно показать, что единственный убывающий на бесконечности потенциал, для которого все ограниченные траектории замкнуты – это гравитационный потенциал. Это утверждение называется теоремой Бертрана.
Во всех пунктах этой части задачи используется полярная система координат $r$, $\theta$. Масса частицы $m$ считается известной. Под частотой колебаний везде имеется в виду циклическая частота.
Рассмотрим произвольную потенциальную энергию $U(r)$.
$$E = U_\text{eff}(r) + f\left(\dot{r}\right).$$
Запишите выражение для $U_\text{eff}(r)$.
Покажите, что при движении по окружности эффективная потенциальная энергия $U_\text{eff}$ достигает экстремума.
Рассмотрим потенциальную энергию вида $U(r) = -\cfrac{A}{r^\alpha}$, где $\alpha > 0$.
Пусть частица движется в таком потенциальном поле по круговой орбите радиуса $R$. Рассмотрим малое отклонение $\delta r$ частицы от окружности в радиальном направлении, так что $r = R + \delta r$. Значение момента импульса $L$ частицы считайте таким же, как при её движении по окружности радиуса $R$. Круговая траектория устойчива, если достаточно малое отклонение от нее не возрастает неограниченно со временем.
Чтобы близкая к окружности траектория была замкнута, нужно, чтобы отношение частоты колебаний к угловой скорости при движении по круговой орбите было рациональным числом: $\cfrac{\omega_r}{\omega_0} = q$ — рациональное число. Когда частица совершит одно колебание в радиальном направлении (то есть $r$ возрастет от минимального расстояния до максимального и уменьшится обратно до минимального), пройдет время $\Delta t = 2\pi/\omega_r$, а изменение полярного угла будет равно $\omega_0 \Delta t = 2\pi/q$. Тогда через целое число оборотов частица совершит целое число колебаний в радиальном направлении, а траектория замкнется.
Покажите, что данному уравнению удовлетворяют решения вида $U(r) = -\cfrac{A}{r^\alpha}$. Будем рассматривать только решения с $\alpha>0$. Получите выражение для показателя степени $\alpha$ через $q$.
Предыдущее соотношение было получено в пределе бесконечно малых отклонений от круговой орбиты. Чтобы определить возможные значения показателя степени $\alpha$, требуется рассмотреть существенные отклонения траектории от круговой. Отношение частоты радиальных колебаний к угловой скорости вращения по окружности — непрерывная функция от $E$, $L$ и других параметров системы. С другой стороны, для замкнутости траектории оно всегда должно оставаться рациональным числом. Следовательно, это отношение, равное $q$, является постоянным.
Подсказка. Выразите $\dot{r}$ из закона сохранения энергии и $\dot{\theta}$ из закона сохранения момента импульса, отсюда можно найти производную $d\theta/dr$.
$$
\int\limits_0^1 \frac{du}{\sqrt{u^\alpha - u^2}} = \frac{\pi}{2 - \alpha}.
$$