Часть A. Соударение Земли и астероида (3.5 балла)

В этой части обсуждается потенциальное соударение Земли и астероида, а также возможность предотвратить такое соударение. В этой части вам могут потребоваться следующие данные:

• Расстояние от Земли до Солнца $r_a = 1.5 \cdot10^{11} ~ м$. Орбиту Земли считайте круговой.
• Радиус Земли $R_E = 6.4 \cdot 10^6 ~ м$. 
• масса Земли $M_E = 6.0 \cdot 10^{24}~ кг$.
• Масса Солнца $M_S = 2.0 \cdot 10^{30} ~кг$.
• Гравитационная постоянная $G = 6.67 \cdot 10^{-11} ~\frac{м^3}{ кг \cdot с^2}$.

Параметры астероида: 

• Диаметр $D = 250 ~ м$.
• Плотность астероида $\rho = 2700~ кг/м^3$.
• Астероид движется вокруг Солнца по эллиптической орбите в плоскости орбиты Земли. Эксцентриситет $e = 0.4$, минимальное расстояние до Солнца равно радиусу орбиты Земли. Направление вращения вокруг Солнца совпадает с направлением вращения Земли. 

A1  ^0.30 Найдите орбитальную скорость $v_0$ движения Земли вокруг Солнца, считая орбиту круговой (формулу и численное значение). Ответ выразите через $G$, $M_S$, $r_a$.

A2  ^0.70 Найдите скорость астероида $v_1$, когда он пролетает на минимальном расстоянии до Солнца. Выразите ответ через $v_0$, $e$ и приведите численное значение.

A3  ^0.60 Известно, что в некоторый момент астероид сталкивается с Землей. Столкновение центральное. Найдите выделившуюся в результате столкновения энергию (формулу и численное значение). Ответ выразите через массу астероида $m_A$, $G$, $v_0$, $e$, $R_E$, $M_E$.

Рассмотрим, как избежать такого соударения. Для этого к астероиду доставляется бомба, в результате взрыва которой астероиду сообщается дополнительный импульс $\Delta p$.

A4  ^1.40 Предположим, что астероид уже находится на достаточно малом расстоянии от Земли $s \ll r_a$, так что влиянием Солнца и других небесных тел на его движение можно пренебречь. При этом все еще $s \gg R_E$. Его скорость в системе отсчета Земли (на большом расстоянии до нее) $v_r$ и направлена к центру Земли. Чему равен минимальный импульс $\Delta p_\text{min}$, который ему нужно сообщить, чтобы он не столкнулся с Землей? Выразите ответ через $s$, $G$, $M_E$, $R_E$, $v_r$ и массу астероида $m_A$. Для безопасности необходимо, чтобы минимальное расстояние до центра Земли составляло как минимум $2 R_E$. Считайте, что переданный импульс много меньше импульса астероида.

A5  ^0.50 Чему равно минимальное расстояние $s_\text{min}$, на котором астероид еще можно отклонить, если создаваемое бомбой изменение импульса $\Delta p =2 \cdot 10^{12} ~ кг\cdot м/с$? Выразите ответ через $\Delta p$, $G$, $m_A$, $v_r$, $M_E$, $R_E$ и приведите численное значение.

Часть B. Теорема Бертрана (6.5 баллов)

В этой части рассмотрим движение частицы массы $m$ в центральном поле, потенциальная энергия частицы в котором $U(r)$. Хорошо известно, что в гравитационном поле точечной массы $U = - A/r$ ограниченные траектории представляют собой эллипсы, а значит замкнуты. При произвольной зависимости потенциальной энергии от расстояния также можно найти замкнутые траектории, например окружности. Однако, при небольшом изменении начальных условий, траектории размыкаются и заполняют собой некоторую область пространства.
Оказывается, можно показать, что единственный убывающий на бесконечности потенциал, для которого все ограниченные траектории замкнуты – это гравитационный потенциал. Это утверждение называется теоремой Бертрана.

Во всех пунктах этой части задачи используется полярная система координат $r$, $\theta$. Масса частицы $m$ считается известной. Под частотой колебаний везде имеется в виду циклическая частота.

Рассмотрим произвольную потенциальную энергию $U(r)$.

B1  ^0.30 Найдите угловую скорость $\omega_0$ частицы на круговой орбите. Ответ выразите через $m$, радиус орбиты $R$, $U(r)$ и ее производные.

B2  ^0.20 Далее будем рассматривать отклонения орбит от круговых. Выразите момент импульса частицы $L$ через $r$, $\dot{\theta}$ и $m$.

B3  ^0.20 Выразите энергию системы $E$ через $L,~m,~r,~\dot{r}$ и $U(r)$.

B4  ^0.10 Введем эффективную потенциальную энергию $U_\text{eff}(r)$ такую, что энергия частицы имеет вид:

$$E = U_\text{eff}(r) + f\left(\dot{r}\right).$$

Запишите выражение для $U_\text{eff}(r)$.

B5  ^0.40 Выразите вторую производную модуля радиус-вектора по времени $\ddot{r}$ через $m$, $U_\text{eff}(r)$ и ее производные.
Покажите, что при движении по окружности эффективная потенциальная энергия $U_\text{eff}$ достигает экстремума.

Рассмотрим потенциальную энергию вида $U(r) = -\cfrac{A}{r^\alpha}$, где $\alpha > 0$.

Пусть частица движется в таком потенциальном поле по круговой орбите радиуса $R$. Рассмотрим малое отклонение $\delta r$ частицы от окружности в радиальном направлении, так что $r = R + \delta r$. Значение момента импульса $L$ частицы считайте таким же, как при её движении по окружности радиуса $R$. Круговая траектория устойчива, если достаточно малое отклонение от нее не возрастает неограниченно со временем.

B6  ^2.00 При каких значениях $\alpha$ круговая орбита является устойчивой? Исследуйте в том числе граничные случаи. Постройте качественные графики эффективной потенциальной энергии $U_\text{eff}(r)$ для различных устойчивых, неустойчивых и граничных случаев. Каждый график должен верно отражать качественное поведение функции (возрастание/убывание/выпуклость), вычисление координат характерных точек не требуется.

B7  ^0.80 Вернемся к случаю произвольной потенциальной энергии $U(r)$. Пусть круговая траектория устойчива. Аналогично предыдущему пункту рассмотрим малое отклонение от круговой траектории $r = R + \delta r$. Определите частоту $\omega_r$ радиальных колебаний частицы. Ответ выразите через $m$, $R$,  $U(r)$ и ее производные.

Чтобы близкая к окружности траектория была замкнута, нужно, чтобы отношение частоты колебаний к угловой скорости при движении по круговой орбите было рациональным числом: $\cfrac{\omega_r}{\omega_0} = q$ — рациональное число. Когда частица совершит одно колебание в радиальном направлении (то есть $r$ возрастет от минимального расстояния до максимального и уменьшится обратно до минимального), пройдет время $\Delta t = 2\pi/\omega_r$, а изменение полярного угла будет равно $\omega_0 \Delta t = 2\pi/q$. Тогда через целое число оборотов частица совершит целое число колебаний в радиальном направлении, а траектория замкнется.

B8  ^1.00 Используя данное выше соотношение между частотами, получите дифференциальное уравнение на $U(r)$. Уравнение также может содержать $r$ и $q$.

Покажите, что данному уравнению удовлетворяют решения вида $U(r) = -\cfrac{A}{r^\alpha}$. Будем рассматривать только решения с $\alpha>0$. Получите выражение для показателя степени $\alpha$ через $q$.

Предыдущее соотношение было получено в пределе бесконечно малых отклонений от круговой орбиты. Чтобы определить возможные значения показателя степени $\alpha$, требуется рассмотреть существенные отклонения траектории от круговой. Отношение частоты радиальных колебаний к угловой скорости вращения по окружности — непрерывная функция от $E$, $L$ и других параметров системы. С другой стороны, для замкнутости траектории оно всегда должно оставаться рациональным числом. Следовательно, это отношение, равное $q$, является постоянным.

B9  ^0.60 Определите изменение полярного угла $\Delta \theta$  при движении от точки траектории с минимальным значением $r = r_\text{min}$ до ближайшей точки с максимальным значением $r = r_\text{max}$. Выразите ответ в виде интеграла по $dr$ от минимального расстояния $r_\text{min}$ до максимального расстояния $r_\text{max}$. Ваш ответ также может содержать $r$, $E$ $L$, $U(r)$, $m$.

Подсказка. Выразите $\dot{r}$ из закона сохранения энергии и $\dot{\theta}$ из закона сохранения момента импульса, отсюда можно найти производную $d\theta/dr$.

B10  ^0.60 Рассмотрим удобный предельный случай движения с бесконечно малой энергией для потенциальной энергии $U = - \dfrac{A}{r^\alpha}$. В этом случае можно положить в интеграле $E = 0$, $r_\text{max} = \infty$ и перейти к переменной $u = r_\text{min}/r$. Выразите в этом пределе $\Delta \theta$ через $\alpha$. Вам потребуется значение интеграла:

$$
\int\limits_0^1 \frac{du}{\sqrt{u^\alpha - u^2}} = \frac{\pi}{2 - \alpha}.
$$

B11  ^0.30 Как было сказано ранее, отношение $q$ будет оставаться постоянным. Поэтому найденное выше изменение угла должно быть равно половине изменения угла при радиальном колебании: $\Delta \theta  = \dfrac{\pi}{q}$, где рассматривается движение от минимума к максимуму, а не полное колебание. Используя этот факт, получите уравнение на $\alpha$ и найдите все его решения.