| 1 $$v_0= \sqrt{\dfrac{GM_s}{r_a}}$$ | 0.15 |
|
| 2 $$v_0 \approx 29.8~\dfrac{км}{с}$$ | 0.15 |
|
| 1 M1 Указано или используется, что полная энергия системы равна: \[E=-\dfrac{GM_S~m_A(1-e)}{2r_a}=-\dfrac{GM_S~m_A}{r_a}+\dfrac{m_Av_1^2}{2}\] | 0.40 |
|
|
2
M2
Записан ЗСМИ: \[m_avr=const\] |
0.20 |
|
| 3 M2 Записан закон сохранения энергии | 0.20 |
|
| 4 Получено выражение для скорости: \[v_1 =v_0 \sqrt{1+e}\] | 0.20 |
|
| 5 $$v_1 \approx 35.3~\dfrac{км}{с}$$ | 0.10 |
|
| 1 M1 Записан ЗСЭ: \[\dfrac{m_Av_1^2}{2}+\dfrac{M_E~v_0^2}{2}-\dfrac{GM_S~m_A}{r_a}-\dfrac{GM_S~M_E}{r_a}=Q+\dfrac{(M_E+m_A)~u^2}{2}-\dfrac{GM_S~(m_A+M_E)}{r_a}-\dfrac{Gm_AM_E}{R_E}\] | 0.10 |
|
| 2 M1 Записан ЗСИ: \[m_Av_1+M_Ev_0=(m_A+M_E)~u\] | 0.10 |
|
| 3 M1 \[Q=\dfrac{(1+e)~m_Av_0^2}{2}+\dfrac{M_E~v_0^2}{2}-\dfrac{((m_A \sqrt{1+e}+M_E)v_0)^2}{2(M_E+m_A)}+\dfrac{Gm_AM_E}{R_E}\] | 0.10 |
|
| 4 M2 Записана скорость астероида в СО Земли $v_r = v_1 - v_0$. | 0.10 |
|
|
5
M2
Записан ЗСЭ: \[\dfrac{m_Av_r^2}{2} = Q - \dfrac{GM_Em_A}{R_E}\] |
0.20 |
|
| 6 \[Q=\dfrac{m_Av_0^2}{2}\left( \sqrt{1+e}-1\right)^2 + \dfrac{Gm_AM_E}{R_E}\] | 0.10 |
|
|
7
\[Q = 1.7\cdot10^{18}~Дж\] Примечание. Получение этого балла без приближенноq формулы на $Q$ невозможно, т.к. $\dfrac{m_A}{M_E} \approx 10^{-14}$, то время как ошибка калькулятора появляется уже в 10-ом знаке. |
0.20 |
|
| 1 Обосновано, что импульс сообщается перпендикулярно $v_r$. | 0.40 |
|
| 2 Записан ЗСМИ:\[2R_E~v~m_A=m_A~b\sqrt{\left(\dfrac{\Delta p_{min}}{m_A}\right)^2+v_r^2},\]$b$ – прицельный параметр. | 0.20 |
|
| 3 \[b=\dfrac{s}{v_r} ~\dfrac{\Delta p_{\text{min}}}{m_A}\] | 0.20 |
|
| 4 Записан ЗСЭ: \[\dfrac{m_Av_r^2}{2}+\dfrac{\Delta p_{\text{min}}^2}{2m_A}-\dfrac{GM_E~m_A}{s}=\dfrac{m_Av^2}{2}-\dfrac{GM_E~m_A}{2R_E}\] | 0.20 |
|
| 5 Использовано приближение $s \gg R_E$. | 0.20 |
|
|
6
$$ \Delta p_{\text{min}}=\frac{2 R_{E}}{s} \cdot v_{r} m_A \cdot \sqrt{1+\frac{G M_E}{R_{E} v_{r}^{2}}} $$или (если расстояние $2R_E$ отсчитывалось до поверхности Земли) $$ \Delta p_{\text{min}}=\frac{3 R_{E}}{s} \cdot v_{r} m_A \cdot \sqrt{1+\frac{2G M_E}{3R_{E} v_{r}^{2}}} $$ |
0.20 |
|
| 1 \[ s_{min}=\frac{2 R_{E}}{\Delta p} \cdot v_{r} m_A \cdot \sqrt{1+\frac{G M_E}{R_{E} v_{r}^{2}}}\] | 0.10 |
|
|
2
Указана формула для нахождения $v_r$: \[v_r=v_1-v_0\] |
0.10 |
|
|
3
\[ s_{min}\approx1.36\cdot10^9~м\]или \[ s_{min}\approx1.8\cdot10^9~м\] (если расстояние отсчитывалось до поверхности Земли) |
0.30 |
|
| 1 $$F_r = -\dfrac{\text{d}U}{\text{d}r}$$ | 0.10 |
|
| 2 $$\omega_0 = \sqrt{\dfrac{1}{mr}\dfrac{\text{d}U}{\text{d}r}}$$ | 0.20 |
|
| 1 $$L= mr^2\dot{\theta}$$ | 0.20 |
|
| 1 $$E = U(r) + \dfrac{m\dot{r}^2}{2} + \dfrac{L^2}{2mr^2}$$ | 0.20 |
|
$$E = U_\text{eff}(r) + f\left(\dot{r}\right).$$
Запишите выражение для $U_\text{eff}(r)$.
| 1 $$U_\text{eff}(r) = U(r) + \dfrac{L^2}{2mr^2}$$ | 0.10 |
|
| 1 $$\ddot{r} = -\dfrac{1}{m}\dfrac{\text{d}U_\text{eff}}{\text{d}r}$$ | 0.30 |
|
| 2 Корректно доказано наличие экстремума $U_\text{eff}$ при движении по круговой орбите. | 0.10 |
|
|
1
Верно продифференциировано и подставлено выражение для потенциальной энергии $U(r)$: $$\ddot{r} = -\frac{\alpha A}{mr^{\alpha+1}} + \frac{L^2}{m^2r^3}$$ |
0.20 |
|
|
2
Верное разложение в ряд тейлора: $$\delta \ddot{r} \approx -\frac{\alpha A}{mR^{\alpha + 1}}\left(1 - (1+\alpha)\frac{\delta r}{R}\right) + \frac{L^2}{m^2R^3}\left(1-3\frac{\delta r}{R}\right).$$ |
0.20 |
|
|
3
Учтено, что слагаемые относящиеся к невозмущенному движению в сумме дают ноль: \[-\frac{\alpha A}{mR^{\alpha + 1}} + \frac{L^2}{m^2R^3} = 0\] |
0.10 |
|
|
4
Из экстремума $U_\text{eff}$ на круговой орбите получено выражение: $$\frac{L^2}{m^2R^3} = \frac{\alpha A}{mR^{\alpha + 1}}.$$ |
0.20 |
|
|
5
Получено уравнение колебаний: $$\delta \ddot{r} = - \frac{\alpha A}{mR^{\alpha + 2}}(2 - \alpha) \delta r.$$ |
0.30 |
|
| 6 Получена устойчивость при $0<\alpha < 2$. | 0.20 |
|
| 7 Отдельно рассмотрен случай $\alpha = 2$ и показано что орбита также устойчива. | 0.20 |
|
| 8 Построены качественные графики. | 3 × 0.20 |
|
|
1
Производная $U^\prime(r)$ разложена в ряд Тейлора. $$U^\prime(r) = U'(R) + U''(R)~\delta r$$ |
0.20 |
|
|
2
Аналогично пункту B6 получено уравнение колебаний: $$\ddot{r} + \left(U''(R) + 3\frac{U^\prime(R)}{R}\right)\dfrac{\delta r}{m} = 0$$ |
0.40 |
|
| 3 $$\omega_r = \sqrt{\dfrac{1}{m}\left(U''(R) + 3\frac{U'(R)}{R}\right)}$$ | 0.20 |
|
| 1 Угловая скорость вращения по круговой орбите подставлена через $U'(r)$. | 0.10 |
|
|
2
Получено дифференциальное уравнение на $U(r)$: $$U'' + (3 - q^2)\frac{U'}{r} = 0.$$ |
0.40 |
|
| 3 Показано, что решение вида $U(r) = -\dfrac{A}{r^\alpha}$ удавлетворяет уравнению. | 0.30 |
|
| 4 $$\alpha = 2 - q^2$$ | 0.20 |
|
Подсказка. Выразите $\dot{r}$ из закона сохранения энергии и $\dot{\theta}$ из закона сохранения момента импульса, отсюда можно найти производную $d\theta/dr$.
| 1 $$\dot{r} = \sqrt{\frac{2}{m}\left(E - \frac{L^2}{2mr^2} - U(r)\right)}$$ | 0.20 |
|
| 2 $$\dot{\theta} = \frac{L}{mr^2}$$ | 0.10 |
|
| 3 $$\Delta \theta = \frac{L}{m}\int\limits_{r_\text{min}}^{r_\text{max}} \frac{\mathrm{d}r}{r^2 \sqrt{\frac{2}{m}\left(E - \frac{L^2}{2mr^2} - U\right)}}$$ | 0.30 |
|
|
1
Замена $r$ на $u$: $$\Delta \theta = \frac{L}{m} \int\limits_{1}^{0}-\frac{\mathrm{d}u}{r_{\text{min}}\sqrt{2\left(\frac{Au^{\alpha}}{mr_{\text{min}}^\alpha} - \frac{L^2u^2}{2m^2r_{\text{min}}^2}\right)}}.$$ |
0.10 |
|
|
2
Вынесен множитель под корнем: $$\Delta \theta = \frac{L}{m}\int\limits_0^{1} \frac{\mathrm{d}u}{r_{\text{min}}\sqrt{\frac{2A}{mr_{\text{min}}^{\alpha}}\left(u^{\alpha} - u^2\right)}} $$ |
0.20 |
|
|
3
Подстановкой выражения из ЗСЭ интеграл приведен к виду: $$\Delta \theta = \int\limits_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{u^{\alpha} -u^2}} $$ |
0.20 |
|
| 4 $$\Delta \theta = \frac{\pi}{2 - \alpha}$$ | 0.10 |
|
| 1 Составлено уравнение на $\alpha$ или на $q$. | 0.20 |
|
| 2 $$\alpha =1$$ | 0.10 |
|