|
1
Из закона сохранения массы получен ответ: $$j(r) = \frac{j(r_0) r_0^2}{r^2}.$$ |
0.20 |
|
|
1
Получено дифференциальное уравнение на $n(r)$ вида: $$n'(r)r^2 = \mathrm{const}.$$ |
0.10 |
|
|
2
Используются граничные условия: $$n(r_0) = n_0 \qquad \qquad n(\infty) = \eta n_0.$$ |
0.10 |
|
|
3
Получен ответ: $$n(r) = n_0\left(\eta + (1-\eta)\frac{r_0}{r}\right).$$ |
0.10 |
|
Здесь и далее скоростью изменения массы капли называется $I = -\cfrac{dm}{dt}$, где $m$ — масса капли.
| 1 Из полученного распределения $n(r)$ найден полный поток частиц. | 0.15 |
|
|
2
Получен ответ: $$I_1 = 4\pi m_\mathrm{w} D(1-\eta)n_0r_0.$$ |
0.15 |
|
|
1
Получено дифференциальное уравнение на радиус капли: $$r_к \frac{d r_к}{d t} = -\frac{m_\mathrm{w} D(1-\eta)n_0}{\rho_\mathrm{w}}.$$ |
0.10 |
|
|
2
Получен ответ: $$\tau = \frac{\rho_\mathrm{w}r_0^2}{2 m_\mathrm{w} D(1-\eta)n_0}.$$ |
0.20 |
|
Температура $T_0 = 293~К$, коэффициент диффузии $D = 0.25~см^2/с$, давление насыщенного пара при этой температуре $p_0 = 2.34~кПа$, влажность воздуха вдали от капли $\eta = 0.5$.
|
1
Из уравнения Менделеева-Клапейрона получено: $$n_0 = \frac{p_0}{k_\mathrm{B}T_0}.$$ |
0.10 |
|
|
2
Получен численный ответ: $$\tau = 576~с = 9.60~мин.$$ |
0.20 |
|
Здесь и далее $n'(r) = \cfrac{dn(r)}{dr}$, $N'(r) = \cfrac{dN(r)}{dr}$.
|
1
Записано условие постоянства давления: $$n(r) + N(r) = \mathrm{const}.$$ |
0.10 |
|
|
2
Получен ответ: $$N'(r) = -n'(r).$$ |
0.10 |
|
|
1
Получено выражение для диффузионного потока воздуха: $$j_{\mathrm{dif}}^\mathrm{a} = -D N'(r).$$ |
0.10 |
|
|
2
Получено выражение для гидродинамического потока воздуха: $$j_{\mathrm{gd}}^\mathrm{a} = N(r) v(r).$$ |
0.20 |
|
|
3
Использовано условие компенсации двух потоков: $$j_{\mathrm{dif}}^\mathrm{a} + j_{\mathrm{gd}}^\mathrm{a} = 0.$$ |
0.10 |
|
|
4
Получен ответ: $$v(r) = \frac{DN'(r)}{N(r)}.$$ |
0.10 |
|
|
1
Из условия постоянства давления получено: $$N(r) + n(r) = n_s.$$ |
0.10 |
|
|
2
Скорость течения выражена через $n(r)$, $n'(r)$: $$v(r) = -\frac{D n'(r)}{n_s - n(r)}.$$ |
0.10 |
|
|
3
Получено выражение для диффузионного потока пара: $$j_{\mathrm{dif}}^\mathrm{w} = -Dn'(r).$$ |
0.05 |
|
|
4
Получено выражение для гидродинамического потока пара: $$j_{\mathrm{gd}}^\mathrm{w} = n(r)v(r).$$ |
0.15 |
|
|
5
Получен ответ: $$j_\mathrm{sum}(r) = -\frac{Dn_sn'(r)}{n_s - n(r)}.$$ |
0.10 |
|
|
1
Записано условие стационарности потока: $$j_\mathrm{sum}(r)r^2 = -\frac{Dn_sn'(r)r^2}{n_s - n(r)} = \mathrm{const}.$$ |
0.10 |
|
|
2
Разделены переменные в уравнении на $n$: $$\frac{j(r_0) \cdot r_0^2 \cdot dr}{Dn_sr^2} = -\frac{dn}{n_s - n}.$$ |
0.10 |
|
|
3
Используются граничные условия: $$n(r_0) = n_0 \qquad \qquad n(\infty) = \eta n_0.$$ |
0.10 |
|
|
4
Получен ответ: $$n(r) = n_s - \left(n_s-\eta n_0\right)\left(\frac{n_s - n_0}{n_s-\eta n_0}\right)^\frac{r_0}{r}.$$ |
0.20 |
|
| 1 Из полученного распределения $n(r)$ найден полный поток частиц. | 0.15 |
|
|
2
Получен ответ $$I_2 = 4\pi m_\mathrm{w}Dn_sr_0\ln\left(\frac{n_s - \eta n_0}{n_s-n_0}\right).$$ |
0.15 |
|
| 1 Необходимые концентрации выражены через $P$, $p_0$. | 0.10 |
|
|
2
Получен ответ: $$\frac{I_2-I_1}{I_1} \approx 1.76\%.$$ |
0.20 |
|
|
1
Из условия стационарности потока получено уравнение на $T(r)$: $$T'(r) r^2 = \mathrm{const}.$$ |
0.10 |
|
|
2
Используются граничные условия: $$T(r_0) = T_0 \qquad \qquad T(\infty) = T_\infty.$$ |
0.10 |
|
|
3
Получен ответ: $$T = T_{\infty} +(T_0-T_{\infty})\dfrac{r_0}{r}.$$ |
0.10 |
|
|
1
Получен ответ: $$J = 4 \pi r_0 \varkappa\cdot (T_{\infty} - T_0).$$ |
0.20 |
|
Примечание. В интегралах вида
$$\int f\left(\frac{1}{x}\right) \frac{dx}{x^2}$$
может быть полезна замена переменной $y = 1/x$.
|
1
Получено уравнение на $n(r)$ вида: $$n'(r) T^\alpha(r) r^2 = \mathrm{const}.$$ |
0.10 |
|
|
2
Подставлено $T(r)$ и разделены переменные: $$\dfrac{dr}{r^2 \left(1-\left( 1-\dfrac{T_0}{T_{\infty}} \right) \cdot \dfrac{r_0}{r} \right)^{\alpha}} = \mathrm{const} \cdot dn.$$ |
0.20 |
|
| 3 Уравнение проинтегрировано. | 0.40 |
|
|
4
Используются граничные условия: $$n(r_0) = \dfrac{p(T_0)}{k_\mathrm{B} T_0} \qquad \qquad n(\infty) = \eta \cdot \dfrac{p(T_{\infty})}{k_\mathrm{B} T_{\infty}}.$$ |
0.20 |
|
|
5
Получено выражение для полного потока частиц от капли: $$\Phi = \dfrac{4 \pi D_{\infty} r_0 \left( 1-\dfrac{T_0}{T_{\infty}} \right) \left( \dfrac{p(T_0)}{k_\mathrm{B} T_0} - \eta \cdot \dfrac{p(T_{\infty})}{k_\mathrm{B} T_{\infty}}\right) (\alpha -1)}{\left( \dfrac{T_{\infty}}{T_0}\right)^{\alpha -1} -1}.$$ |
0.50 |
|
|
6
Получен ответ $$I = \dfrac{4 \pi D_{\infty} r_0 m_\mathrm{w}\left( 1-\dfrac{T_0}{T_{\infty}} \right) \left( \dfrac{p(T_0)}{k_\mathrm{B} T_0} - \eta \cdot \dfrac{p(T_{\infty})}{k_\mathrm{B} T_{\infty}}\right) (\alpha -1)}{\left( \dfrac{T_{\infty}}{T_0}\right)^{\alpha -1} -1}.$$ |
0.10 |
|
|
1
Записано уравнение теплового баланса: $$-L dm = 4 \pi r_0 \cdot \varkappa \cdot (T_{\infty} - T_0) dt.$$ |
0.10 |
|
|
2
Подставлено выражение из предыдущего пункта и получен ответ: $$\dfrac{\varkappa \cdot T_{\infty} \cdot k_\mathrm{B}}{L \cdot D_{\infty} \cdot m_\mathrm{w} (\alpha -1)} = \dfrac{\dfrac{p(T_0)}{T_0}-\dfrac{\eta \cdot p(T_{\infty})}{T_{\infty}}}{ \left( \dfrac{T_{\infty}}{T_0}\right)^{\alpha -1} -1}.$$ |
0.20 |
|
Рассчитайте температуру капли $T_0$ с точностью до десятых долей кельвина. Используйте следующие численные значения:
| 1 Описан метод численного нахождения корня уравнения. | 0.10 |
|
| 2 Уравнение приведено к виду, пригодному для численного решения описанным методом. | 0.20 |
|
|
3
Получен ответ: $$T_0 = 286.1~К.$$ |
0.90 |
|
|
1
Получено уравнение на $n(r)$ вида: $$n'(r) r^2 = \mathrm{const}.$$ |
0.10 |
|
|
2
Использованы граничные условия: $$n(r_0) = n_0\left(1+\frac{r_\sigma}{r_0}\right) \qquad \qquad n(\infty) = n_0.$$ |
0.10 |
|
|
3
Найдена производная массы капли по времени: $$\dfrac{dm}{dt} = -4 \pi D r_{\sigma} n_0 m_\mathrm{w}.$$ |
0.15 |
|
|
4
Получен ответ: $$\tau = \dfrac{\rho_\mathrm{w} r_0^3}{3D r_{\sigma} n_0 m_\mathrm{w}}.$$ |
0.15 |
|
|
1
Получен ответ: $$\tau = 711~с = 11.9~мин.$$ |
0.30 |
|
| 1 Записана теорема Гаусса для электрического поля. | 0.10 |
|
| 2 Скорость изменения массы выражена через поток $\vec{j}$ по поверхности капли. | 0.10 |
|
|
3
Получен ответ $$I/q = \dfrac{m_\mathrm{w} \gamma D}{\varepsilon_0}.$$ |
0.20 |
|
|
1
Заряд проводника выражен через ёмкость и потенциалы: $$q = C(\varphi_0 - \varphi_\infty).$$ |
0.30 |
|
|
2
Концентрации связаны с потенциалами: $$n_0 = \gamma \varphi_0 \qquad \qquad \eta n_0 = \gamma \varphi_\infty.$$ |
0.10 |
|
|
3
Получен ответ: $$I = \dfrac{m_\mathrm{w} D C n_0(1-\eta)}{\varepsilon_0}.$$ |
0.20 |
|
|
1
Получены выражения для связи потенциалов и зарядов: $$\varphi_1 - \varphi_{\infty} = \dfrac{q_1}{4 \pi \varepsilon_0 \cdot r_1} + \dfrac{q_2}{4 \pi \varepsilon_0 \cdot l};$$$$\varphi_2 - \varphi_{\infty} = \dfrac{q_2}{4 \pi \varepsilon_0 \cdot r_2} + \dfrac{q_1}{4 \pi \varepsilon_0 \cdot l}.$$ |
0.30 |
|
|
2
Получено выражение для заряда $q_1$: $$q_1 = \dfrac{\dfrac{n_0 \cdot (1-\eta)}{\gamma} \cdot \left(1-\dfrac{r_2}{l} \right)}{1-\dfrac{r_1 r_2}{l^2}} \cdot 4\pi \varepsilon_0r_1.$$ |
0.30 |
|
|
3
Получено выражение для $I'$: $$I'= 4 \pi m_\mathrm{w} \cdot n_0 \cdot D \cdot r_1 \cdot (1-\eta) \left(1-\dfrac{r_2}{l} \right).$$ |
0.20 |
|
|
4
Получен ответ: $$\dfrac{I'-I}{I} = -\dfrac{r_2}{l}.$$ |
0.20 |
|