При рассматривании рыбки будут видны два ее изображения. Первое изображение получается в результате прохождения световых лучей от рыбки к наблюдателю через одну преломляющую поверхность «вода - воздух» (преломлением в стекле по условию задачи пренебрегаем). Второе изображение получается в результате прохождения через аквариум световых лучей, отраженных плоским зеркалом. В этом случае аквариум можно считать шаровой линзой, через которую рассматривается изображение рыбки, даваемое плоским зеркалом. Найдем скорость перемещения первого изображения. Пўсть рыбка за малый интервал времени $\Delta t$ переместилась вдоль стенки аквариума из точки $A$ в точку $B$ (рис. 56). Найдем перемещение ее изображения. Для этого найдем положение изображения рыбки.
Выберем луч 1 света, выходящий из точки $B$ и проходящий через центр $O$ сферического аквариума. Этот луч выйдет из аквариума без преломления. Луч 2 - это такой луч, который после преломления на границе «аквариум - воздух» идет параллельно прямой, проходящей через точки $O$ и $A$. Когда рыбка находится в точке $B$, ее изображение находится на пересечении продолжений лучей 1 и 2 в точке $B_{1}$. Найдем скорость $v_{1}$ перемещения изображения рыбки из точки $A_{1}$ в точку $B_{1}$ :
$$
v_{1}=A_{1} B_{1} / \Delta t .
$$
Перемещение $A_{1} B_{1}$ изображения можно выразить через действительное перемещение $A B$ рыбки и затем через ее действительную скорость $v$ :
$$
v=A B / \Delta t, \quad v_{1} / v=A_{1} B_{1} / A B .
$$
Для малых углов $\varphi$ и $\alpha$ из рис. 56 следует, что $A B \approx R \varphi, A_{1} B_{1}= =D C \approx R \alpha$, где $R$ - радиус сферического аквариума. Следовательно;
$$
v_{1} / v=A_{1} B_{1} / A B=\alpha / \varphi .
$$
Как видно из рис. 56 , угол $\gamma=180^{\circ}-2 \beta=180^{\circ}-\alpha-\varphi$. Отсюда следует, что $\varphi=2 \beta-\alpha$ и
$$
\frac{v_{1}}{v}=\frac{\alpha}{2 \beta-\alpha}=\frac{\alpha / \beta}{2-\alpha / \beta} .
$$
Для малых углов $\alpha$ и $\beta \alpha / \beta \approx \sin \alpha / \sin \beta=n$; откуда
$$
\frac{v_{i}}{v}=\frac{n}{2-n} .
$$
При $n=4 / 3$ получаем $v_{1} / v=2$, т. е. $v_{1}=2 v$, вектор $v_{1}$ скорости перемещения изображения рыбки направлен в ту же сторону, что и вектор скорости $v$ рыбки.
Найдем теперь скорость $v_{2}$ перемещения второго изображения. Сначала определим фокусное расстояние аквариума как шаровой линзы.
Рассмотрим ход произвольного луча света, проходящего на небольшом расстоянии от центра $O$ сферического аквариума (рис. 57). После преломления на двух границах раздела «воздух - вода» (в точке $C$ ) и «вода - воздух» (в точке $A$ ) луч отклоняется от первоначального направления распространения и пересекает прямую, проходящую через центр $O$ и параллельную первоначальному направлению луча в некоторой точке $F$. Найдем расстояние $B F$, которое обозначим $a$ ( $B F=a$ ).
Для малых углов $\gamma$ и $\delta$ можно записать приближенные равенства
$$
A B \approx B F \cdot \delta \quad \text { и } \quad A B \approx O B \cdot \gamma .
$$
Так как $O B \approx R$, из этих равенств следует
$$
a \delta=R \gamma, \quad \text { или } \quad a=R \gamma / \delta .
$$
Остается выразить $a$ через величины углов $\gamma$ и $\delta$. Для углов $\triangle A O F$ можно записать равенство
$$
\delta=\alpha-\gamma .
$$
Так как угол $\gamma=2 \beta-\alpha$, получим
$$
\delta=2 \alpha-2 \beta,
$$
Подставляя полученные значения для углов $\gamma$ и $\delta$ в выражение для $a$, находим
$$
a=R \frac{2 \beta-\alpha}{2 \alpha-2 \beta}=R \frac{2-\alpha / \beta}{2(\alpha / \beta-1)} .
$$
Углы $\alpha$ и $\beta$ являются соответственно углами падения и преломления световых лучей на границе «воздух - вода». Для малых углов $\alpha$ и $\beta \alpha / \beta \approx \sin \alpha / \sin \beta=n$. Отсюда
$$
a=R \frac{2-n}{2(n-1)} .
$$
Подставив значение показателя преломления $n=4 / 3$, получаем
$$
a=R .
$$
Следовательно, фокус шарового аквариума с водой находится на расстоянии $R$ от его поверхности или на расстоянии $2 R$ от его центра.
Рассматривая изображение рыбки в плоском зеркале как действительный объект, найдем его изображение после прохождения лучей через аквариум.
Для нахождения положения изображения точки $B_{1}$ выберем два луча, один из которых проходит через центр $O$ сферы, второй - через фокус $F$ на прямой $O A$ (рис. 58). Луч 1 пройдет через аквариум без изменения направления, луч 2 после прохождения аквариума пойдет параллельно прямой $O A$. Изображение точки $B_{1}$ получится в точке $B_{3}$ пересечения этих лучей.
Используя рис. 58, можно установить соотношение между действительным перемещением $A B$ рыбки в аквариуме и перемещением $A_{3} B_{3}$ ее изображения перед аквариумом.
При отражении в плоском зеркале выполняется равенство
$$
A_{1} B_{1}=A B .
$$
Из подобия треугольников $F A_{2} B_{2}$ и $F A_{1} B_{1}$ следует
$$
\begin{gathered}
A_{2} B_{2} / A_{1} B_{1}=R / 3 ,~R=1 / 3, \\
A_{2} B_{2}=A_{1} B_{1} / 3=A B / 3 .
\end{gathered}
$$
Расчеты, аналогичные проведенным для первого случая, показывают, что
$$
A_{3} B_{3} / A_{2} B_{2}=2 ,$$следовательно:$$ A_{3} B_{3}=2 A_{2} B_{2}=\dfrac{2}{3} A B \text {. }
$$
Таким образом, скорость второго изображения рыбки
$$
v_{2}=A_{3} B_{3} / \Delta t=\dfrac{2}{3}(v \Delta t / \Delta t)=\dfrac{2}{3} v
$$
направлена в сторону, противоположную направлению скорости рыбки:
$$
v_{2}=-\dfrac{2}{3} v
$$
Относительная скорость, с которой будут расходиться два изображения рыбки, равна:
$$
\begin{gathered}
v_{\mathrm{OTH}}=v_{1}-v_{2} \\
v_{\mathrm{OTH}}=2 v+\dfrac{2}{3} v=\dfrac{8}{3} v
\end{gathered}
$$