Как известно, лучи, параллельные главной оптической оси сферического зеркала и проходящие на небольших расстояниях от нее, после отражения сходятся в главном фокусе зеркала $F$, находящемся на расстоянии $R / 2$ от центра $O$ сферической поверхности. Рассмотрим теперь ход луча, отраженного у края сферического зеркала большого диаметра $D$ (рис. 1).
Угол падения $\alpha$ луча на поверхность зеркала равен углу отражения. Поэтому угол $O A B$ в треугольнике, образованном радиусом $O A$ сферы, проведенным в точку падения луча, отраженным лучом $A B$ и отрезком $B O$ главной оптической оси, равен $\alpha$. Углы $B O A$ и МАО равны, т. е. угол $B O A$ равен $\alpha$.
Следовательно, треугольник $A O B$ равнобедренный, сторона $A B$ в нем равна стороне $B O$. Так как сумма длин двух любых сторон в треугольнике больше длины его третьей стороны, $A B+B O>O A=R$, то $B O>R / 2$. Это означает, что луч, параллельный главной оптической оси сферического зеркала и проходящий не очень близко от нее, после отражения пересекает главную оптическую ось в точке $B$, расположенной между фокусом $F$ и зеркалом. Фокальную плоскость этот луч пересекает в точке $C$, удаленной от главного фокуса на некоторое расстояние $C F=r$.
Таким образом, при отражении параллельного пучка лучей от сферического зеркала конечных размеров он не сходится в фокусе зеркала, а образует в фокальной плоскости пучок радиуса $r$.
Из $\triangle B F C$ записываем:
$$
r=B F \operatorname{tg} \beta=B F \operatorname{tg} 2 \alpha,
$$
где $\alpha$ - максимальный угол падения крайнего луча, падающего на зеркало, причем $\sin \alpha=D / 2 R$ :
$$
B F=B O-O F=\frac{R}{2 \cos \alpha}-\frac{R}{2}=\frac{R}{2} \frac{1-\cos \alpha}{\cos \alpha} .
$$
Следовательно, $r=\dfrac{R}{2} \dfrac{1-\cos \alpha}{\cos \alpha} \dfrac{\sin 2 \alpha}{\cos 2 \alpha}$. Выразим значения $\cos \alpha$, $\sin 2 \alpha, \cos 2 \alpha$ через $\sin \alpha$, учитывая малость угла $\alpha$ :
$$
\begin{aligned}
& \cos \alpha=\sqrt{1-\sin ^{2} \alpha} \approx 1-\frac{\sin ^{2} \alpha}{2}, \\
& \sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha, \\
& \cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha=1-2 \sin ^{2} \alpha .
\end{aligned}
$$
Тогда
$$
r=\frac{R}{2} \frac{\sin ^{3} \alpha}{1-2 \sin ^{2} \alpha} \approx \frac{R}{2} \sin ^{3} \alpha \approx \frac{D^{3}}{16 R^{2}} .
$$
Подставляя числовые данные, получим: $r \approx 1,95 \cdot 10^{-3}$ м $\approx 2$ мм.
Из выражения $D=\sqrt[3]{16 R^{2} r}$ видно, что, если радиус приемника уменьшить в 8 раз, то поперечный диаметр $D^{\prime}$ зеркала, с которого падает свет на приемник, уменьшится в 2 раза, а, следовательно, «рабочая» площадь зеркала уменьшится в 4 раза.