|
1
Получено соотношение между $\omega$ и $L$: $$\omega^2=\cfrac{GM}{L^3}\left(1+\cfrac{1}{k}\right){.} $$ |
0.20 |
|
|
2
Получено выражение для $L_0$: $$L_0=\sqrt[3]{\cfrac{GM}{\omega^2_0}\left(1+\cfrac{1}{k}\right)}{.} $$ |
0.10 |
|
|
3
Определено численное значение $L_0$: $$L_0\approx 3{.}85\cdot 10^8~\text{м}{.} $$ |
0.20 |
|
|
1
Показано, что: $$\cfrac{K_{C(\text{З})}}{K_{C(\text{Л})}}=\cfrac{1}{k}\ll{1}{.} $$ |
0.20 |
|
|
2
Показано, что: $$\cfrac{K_{C(\text{З})}}{K_{\text{З}(\text{отн})}}=\cfrac{5\omega_0L^2_0}{2R^2_0\Omega_0(k+1)^2}\approx 0{.}05\ll{1}{.} $$ |
0.30 |
|
|
1
Получено выражение для $K$: $$K=\cfrac{2MR^2_0\Omega}{5}+\cfrac{ML^2\omega}{k}{.} $$ |
0.50 |
|
|
1
Записано выражение, позволяющее выразить момент импульса, связанный с орбитальным движением центра масс Луны, через $L$: $$L^2\omega=\sqrt{GML}{.} $$ |
0.20 |
|
|
2
Момент импульса системы правильно продифференцирован: $$\cfrac{dK}{dt}=0=\cfrac{2MR^2_0}{5}\cdot\cfrac{d\Omega}{dt}+\cfrac{M}{2k}\sqrt{\cfrac{GM}{L}}\cfrac{dL}{dt}{.} $$ |
0.40 |
|
|
3
Получено выражение для $d\Omega/dt$: $$\cfrac{d\Omega}{dt}=-\cfrac{5\omega L}{4kR^2_0}\cfrac{dL}{dt}{.} $$ |
0.40 |
|
|
1
Для $\dot{E}_\text{З}$ получено: $$\dot{E}_{k(\text{З})}=\cfrac{2MR^2_0\Omega\dot{\Omega}}{5}{.} $$ |
0.30 |
|
|
2
Для $\dot{E}_\text{Л}$ получено: $$\dot{E}_{k(\text{Л})}=-\cfrac{GM^2\dot{L}}{2kL^2}=-\cfrac{M\omega^2L\dot{L}}{2k}{.} $$ |
0.30 |
|
|
3
Получен ответ для $\dot{E}_\text{З}/\dot{E}_\text{Л}$: $$\cfrac{E_\text{З}}{E_\text{Л}}\approx\cfrac{\Omega}{\omega}=27{.}3 $$ |
0.40 |
|
|
1
$$\Delta{T}_\text{З} = (1{.}74\pm 0{.}03)\cdot 10^{-5}~\text{с}{.} $$ |
0.50 |
|
|
1
$$\cfrac{kR^2_0}{L^2_0}\approx 2{.}2\cdot 10^{-2}{.} $$ |
0.50 |
|
| 1 Указано, что моментом импульса, связанным с вращением Земли вокруг собственной оси, можно пренебречь. | 0.20 |
|
|
2
Записан закон сохранения момента импульса: $$\cfrac{2MR^2_0\Omega_0}{5}+\cfrac{ML^2_0\omega_0}{k}\approx \cfrac{ML^2\omega}{k}{.} $$ |
0.20 |
|
|
3
Получено выражение для $\omega$: $$\omega=\cfrac{\omega_0}{\left(1+\cfrac{2kR^2_0\Omega_0}{5L^2\omega_0}\right)^3}{.} $$ |
0.40 |
|
|
4
Определено численное значение $\omega$: $$\omega = (1{.}37\pm0{.}04)\cdot 10^{-6}~\text{с}^{-1}{.} $$ |
0.20 |
|
|
1
Получено выражение для $L$: $$L=L_0\left(\cfrac{\omega_0}{\omega}\right)^{2/3}{.} $$ |
0.30 |
|
|
2
Определено численное значение $L$: $$L=(6{.}0\pm 0{.}1)\cdot 10^8~\text{м}{.} $$ |
0.20 |
|
|
1
Для потенциальной энергии в гравитационном поле Земли получено: $$W_\text{З}=-\cfrac{GMm}{r}{.} $$ |
0.20 |
|
|
2
Определено расстояние $r_\text{Л}$ от луны до материальной точки: $$r_\text{Л}=\sqrt{L^2+r^2-2rL\cos\varphi}{.} $$ |
0.30 |
|
|
3
Для потенциальной энергии в гравитационном поле Луны получено: $$W_\text{Л}=-\cfrac{GMm}{k\sqrt{L^2+r^2-2rL\cos\varphi}}{.} $$ |
0.20 |
|
|
4
Для центробежной силы записано: $$\vec{F}_\text{цб}=m\omega^2\vec{r}_C{.} $$ |
0.20 |
|
|
5
Для потенциальной энергии в поле центробежной силы получено: $$W_\text{цб}=-\cfrac{m\omega^2r^2_C}{2}{.} $$ |
0.20 |
|
|
6
Определено расстояние $r_C$: $$r_C=\sqrt{r^2+\left(\cfrac{L}{k+1}\right)^2-\cfrac{2rL\cos\varphi}{k+1}}{.} $$ |
0.20 |
|
|
7
Получено выражение для $W_p$ (с точностью до произвольной постоянной): $$W_p=-\cfrac{GMm}{r}-\cfrac{GMm}{k\sqrt{r^2+L^2-2rL\cos\varphi}}-\cfrac{GMm}{2L^3}\left(1+\cfrac{1}{k}\right)\left(r^2+\left(\cfrac{L}{k+1}\right)^2-\cfrac{2rL\cos\varphi}{k+1}\right){.} $$ |
0.20 |
|
|
1
Получено приближение: $$\cfrac{1}{\sqrt{1+y}}\approx 1-\cfrac{y}{2}+\cfrac{3y^2}{8}{.} $$ |
0.30 |
|
|
2
Показана справедливость приближения: $$\cfrac{1}{\sqrt{1+a^2-2a\cos\varphi}}\approx 1+a\cos\varphi+\cfrac{a^2(3\cos^2\varphi-1)}{2}{.} $$ |
0.20 |
|
| 1 Указано, что поверхность воды является эквипотенциальной. | 0.20 |
|
|
2
Изменяющаяся компонента потенциальной энергии в гравитационном поле Земли составляет: $$W_\text{З}=\cfrac{GMh}{R^2_0}{.} $$ |
0.20 |
|
|
3
Изменяющаяся компонента потенциальной энергии в гравитационном поле Луны составляет: $$W_\text{Л}=\cfrac{GMmr\cos\varphi}{kL^2}-\cfrac{GMmr^2(3\cos^2\varphi-1)}{2kL^3}{.} $$ |
0.20 |
|
|
4
Изменяющаяся компонента потенциальной энергии в поле центробежной силы составляет: $$W_\text{цб}=-\cfrac{GMm}{2L^3}\left(1+\cfrac{1}{k}\right)\left(r^2-\cfrac{2rL\cos\varphi}{k+1}\right){.} $$ |
0.20 |
|
|
5
Выражение для полной потенциальной энергии $W_p$ упрощено до следующего вида (либо может быть упрощено отбрасыванием малого слагаемого): $$W_p\approx\cfrac{GMmh}{R^2_0}-\cfrac{GMmR^2_0(3\cos^2\varphi-1)}{2kL^2}{.} $$ |
0.40 |
|
|
6
Получена зависимость $h(\varphi)$ (с точностью до произвольной малой постоянной): $$h(\varphi)=\cfrac{R^4_0(3\cos^2\varphi-1)}{2kL^3}{.} $$ |
0.40 |
|
|
7
Определено $\Delta{h}_{max}$ (по $0{.}2$ балла за выражение и численное значение): $$\Delta{h}_{max}=\cfrac{3R^4_0}{2kL^3}\approx 14~\text{см}{.} $$ |
2 × 0.20 |
|