У любого диода есть ёмкость, природа которой связана с наличием области пространственного распределения заряда в нем, эта ёмкость зависит от величины обратного постоянного напряжения. Наличие ёмкости особенно выражено у специальным образом созданных диодов, которые называются варикапы – акроним от vari(able) cap(acitance), что дословно означает переменная ёмкость.
В этой работе изучаются свойства нелинейного колебательного контура. В качестве нелинейного элемента, входящего в состав колебательного контура, используется полупроводниковый диод (варикап), ёмкость которого $C$ зависит от величины напряжения. В данной работе мы будем исследовать переменную добавку $-U_\sim$ к постоянному напряжению $-V_0$ на варикапе, называемого рабочей точкой. Другими словами, если изменять напряжение в окрестности напряжения $-V_0$ то в произвольный момент времени напряжение на варикапе $U_x=-V_0 - U_\sim $, где $U_\sim$ — переменная составляющая напряжения.
Зависимость ёмкости варикапа от величины напряжения, приложенного в обратном направлении, хорошо описывается формулой с постоянными коэффициентами $C_0$ и $\alpha$:\begin{equation} \label{1}C(U)=C_0-\alpha\ln U\end{equation}
В окрестности рабочей точки выражение (1) можно разложить в ряд Тейлора до первого порядка и записать в виде:\begin{equation} \label{2}C(U) = C(V_0+U_{\sim})=C_0-\alpha \ln V_{0}-\beta U_{\sim}\end{equation}
Во всех пунктах части A пользуйтесь приближением (2) для ёмкости варикапа.
Рассмотрим следующую схему:
Будем считать, что работа с этой схемой происходит при частоте генератора $\omega \approx 10^5~\text{Гц}$. Амплитуда колебаний напряжения на выходе из генераторе равна $\mathcal{E}_0 \approx 1~\text{В}$.
На основании проведенной оценки мы можем сказать, что импеданс всей схемы практически совпадает с $R_0$, поэтому можно считать, что все напряжение генератора напряжения падает на резисторе $R_0$, что эквивалентно тому, что генератор напряжения вместе с резистором $R_0$ выступают генератором тока с амплитудой $\mathcal{E}_0/{R_0}$. Таким образом ток через резистор $R_0$ равен \[ i = \dfrac{\mathcal{E}_0}{R_0} \cos \omega t. \]
Пусть ток через варикап равен $i_C$, напряжение на нём равно $-U_{\sim}(t)-V_0$, а ток через катушку $i_L$. Положительные направления токов отмечены на рисунке (2) стрелками.
A5
1.00
Получите дифференциальное уравнение на $U_{\sim}$ в следующем виде:
\[ \left[ 1 - \xi(U_{\sim}) \right] \ddot{U}_{\sim} +
\left[ 1 - \xi(U_{\sim}) \right] \cdot 2 \zeta \dot{U}_{\sim} +
\omega_0^2 U_{\sim} = f(t) + \chi \dot{U}_{\sim}^2\]Чему равны $\zeta$, $\omega_0$, $\chi$, $\xi(U_{\sim})$ и $f(t)$?
В этой части мы будем считать нулевое приближении $U_{\sim}^{(0)}(t)$, описанное в пункте А7, в достаточной степени описывающим экспериментальные данные и будем изучать резонансные свойства рассмотренной системы. В этой части используйте только катушку $L_2$. Обратите внимание на полярность включения варикапа!
Из-за того, что ёмкость контура зависит от напряжения, при некоторых условиях частота колебаний в нем может не совпадать с частотой генератора. В частности при частоте генератора $\omega = \omega_0$ возникают колебания с собственной частотой $2 \omega_0$.
C2 1.00 Пусть частота колебаний внешнего напряжения $\omega=\omega_0$. Найдите решение уравнения колебаний переменной составляющей напряжения на варикапе $U_{\sim}^{(0)} + U_{\sim}^{(1)}$ в первом приближении, считая $U_{\sim}^{(1)} \ll U_{\sim}^{(0)}$. Для упрощения вычислений считайте контур высокодобротным: $\omega_0 r C_0 \ll 1$.
C3 1.20 Установите частоту генератора $\omega = \omega_0$. Выставьте амплитуду колебаний напряжения на генераторе $\mathcal{E}_0=2.0~\text{В}$, а $V_0=3.0~\text{В}$. С помощью функции FFT снимите экспериментальную зависимость амплитуды $A$ колебаний с частотой $2 \omega_0$ от индуктивности в цепи. В окне FFT показывается спектр сигнала, другими словами по горизонтальной оси откладывается частота $f$, а по вертикальной оси откладывается амплитуда составляющей сигнала с частотой $f$ в децибелах.
Примечание: Если амплитуды сигналов в вольтах $A_1$ и $A_2$, то их амплитуды $a_1$ и $a_2$ в децибелах связаны следующим выражением: $a_1-a_2=20 \lg {A_1 / A_2}$.
