Вязкостью называется свойство текучих тел (жидкостей и газов) оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой.
Рассмотрим жидкость, текущую по трубке. Со стороны трубки на жидкость действует останавливающая сила (сила вязкого трения). Известно, что сила вязкого трения $F_{fric}$, действующая на жидкость, пропорциональна средней скорости потока $v$ и коэффициенту вязкости $\eta$:
$$F_{fric} = \alpha v \eta,$$
где $\alpha$ — константа, зависящая от геометрических размеров установки.
Коэффициент вязкости является характеристикой жидкости. Как следует из формулы, чем больше коэффициент вязкости $\eta$, тем больше сила вязкого трения. Для сравнения в таблице представлены коэффициенты вязкости некоторых жидкостей. Задачей данного эксперимента является определение коэффициента вязкости воды.
Liquid $\eta,~\text{mPa}\cdot\text{s}$ Petrol $0.53$ Olive oil $84$ Honey $\sim10000$ Water ?
A1 Измерьте внутренний радиус $R_0$ гибкой пластиковой трубки и внутренний радиус шприцов $R_\text{s}$ на $10~\text{мл}$. Приведите рисунок, поясняющий метод измерения.
Примечание. Прямое измерение радиусов линейкой не обеспечит достаточную точность.
Подсказка 1. Если столб жидкости имеет высоту $h$ и площадь поперечного сечения $S$, то его объём рассчитывается по формуле $V = Sh$. Если известен объём жидкости $V$ и высота столба $h$, то площадь поперечного сечения может быть вычислена по формуле $S = V/h$.
Подсказка 2. Площадь круга $S$ и его радиус $r$ связаны формулой $S = \pi r^2$.
На носики шприцов $10~\text{мл}$ надеты концы пластиковой трубки так, что они вместе образуют систему из двух сообщающихся сосудов.
Наливая воду и регулируя положение шприцов, добейтесь того, чтобы один шприц был заполнен до отметки $10~\text{мл}$, второй шприц был пустым, а трубка, соединяющая шприцы, была полностью заполнена водой. Закройте клапан на трубке.
Опустите и зафиксируйте пустой шприц так, чтобы расстояние между его дном и дном верхнего шприца было равно $H \approx 5~\text{cm}$ (см. рисунок). Если открыть клапан, то вода начнет перетекать из верхнего шприца в нижний.
A3 Откройте клапан и одновременно с этим запустите секундомер. Снимите зависимость объёма жидкости в нижнем шприце $V$ от времени $t$ (записывайте значения объёма в нижнем шприце и время, когда оно достигается). Снимите не менее 7 точек. После того, как объёмы жидкости в шприцах перестанут меняться, запишите значение объёма в нижнем шприце $V_\infty$. Повторите измерения несколько раз, если потребуется. Следите, чтобы при всех измерениях $H$ было одним и тем же!
Из уравнений гидродинамики следует, что объём воды в нижнем шприце $V$ зависит от времени $t$ по формуле:
$$V(t) = V_\infty \left( 1 - e^{-\gamma t} \right),$$где $V_\infty$ – объём в нижнем шприце спустя длительное время (измерен в предыдущем пункте), $\gamma > 0$ – некоторый коэффициент, определяемый параметрами жидкости.
Используя определение натурального логарифма $\ln$, из формулы можно получить:
$$-\ln\left(1 - \frac{V(t)}{V_\infty}\right) = \gamma t.$$Если построить график зависимости $-\ln\left(1 - \frac{V(t)}{V_\infty}\right)$ от $t$, он будет линейным с угловым коэффициентом $\gamma$.
Из решения уравнений гидродинамики известно, что $\gamma$ связано с коэффициентом вязкости $\eta$ следующим образом:
$$\gamma = \frac{\rho g \pi R_0^4}{4S_0L \eta},$$где $\rho = 1000~\text{kg}/\text{m}^3$ – плотность воды, $g= 9.81~\text{m}/\text{s}^2$ – ускорение свободного падения, $R_0$ – внутренний радиус трубки, измеренный в пункте A1, $S_s$ – площадь внутреннего поперечного сечения шприца, $L$ – длина трубки, соединяющей шприцы.