В рамках данной задачи вам предлагается изучить векторный подход к задачам, связанным с кеплеровым движением,вывести третий закон Кеплера и решить задачу двух тел.
Часть A.Вектор Лапласа$~$-$~$Рунге$~$-$~$Ленца.
Частица массы $m$ движется в центральном поле $U=-\frac{\alpha}{r}$. Энергия системы равняется $E$, момент импульса частицы относительно центра равняется $L$. Перед вами стоит задача описать траекторию частицы
$$
$$
Примечание:Вам может понадобиться следующее векторное равенство
$$[\vec{a}\times[\vec{b}\times\vec{c}]]=\vec{b}\cdot(\vec{a}\vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\vec{b})
$$
$$\vec{a}=\frac{\alpha}{L^2}\cdot[\vec{L}\times\frac{d\vec{e_r}}{dt}]
$$
Из последнего соотношения следует, что векторная величина
$$\vec{A}=[\vec{v}\times\vec{L}]-{\alpha}\vec{e_r}
$$
является интегралом движения, т.е производная данной величины по времени равняется нулю.
$$
$$
Вектор $\vec{A}$ называется вектором Лапласа$~$-$~$Рунге$~$-$~$Ленца. Часто использование данной величины позволяет решить задачи о кеплеровом движении значительно быстрее.Переходим к следующей части
Часть B.Годограф вектора скорости и уравнение траектории.
$$\vec{L}=mr\cdot\vec{B}
$$
Выразите вектор $\vec{B}$ черех $\vec{e_r}$,$\vec{L}$,$\alpha$ и $\vec{C}$
$$\vec{e_r}=[\vec{e_n}\times\vec{k}]
$$
Пусть угол между векторами $\vec{C}$ и $\vec{e_n}$ равен $\varphi$.
$$
$$
Выражение для $r$ представимо в виде
$$r=\frac{p}{1+e~cos{\varphi}}
$$
Выразите $p$ и $e$ через $L$,$\alpha$,$m$,$C$ и $\varphi$
Уравнение, полученное в пункте B4, представляет собой уравнение конического сечения относительно одного из его фокусов. В случае $\alpha>0$ Данное уравнение может представлять собой эллипс,параболу и гиперболу, а в случае $\alpha<0$ - только гиперболу, поскольку эксцентриситет $e$ данной орбиты должен быть больше 1.
$$
$$
Полученное нами выражение для $e$ в предыдущем пункте содержит неизвестную константу $C$.
Часть C. Третий закон Кеплера.
Пусть частица движется по эллиптической орбите. В этой части задачи нам необходимо найти период её обращения.
Примечание:Площадь эллипса $S$ равняется
$$S={\pi}ab
$$
$$
$$
Выразите $\sigma$ через $L$ и $m$
Часть D. Задача двух тел в случае гравитационного взаимодействия.
Рассмотрим две взаимодействующих только друг с другом частицы массами $m_1$ и $m_2$. Поскольку центр масс частиц движется с постоянной скоростью, для описания движения частиц необходимо описать движение частиц друг относительно друга.
$$
$$
Пусть $\vec{r_{12}}$ - радиус-вектор, проведённый от первой частицы ко второй.
$${\mu}\vec{a_{отн}}=-\frac{{\alpha}\vec{r_{12}}}{r^3_{12}}
$$
Выразите $\mu$ через $m_1$ и $m_2$
Как видно из выражения в пункте $D2$, движение частицы массы $\mu$ в том же силовом поле описывает движение второй частицы относительно первой.
$$
$$
Пусть $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ - векторы скоростей первой и второй частиц соответственно.