В рамках данной задачи вам предлагается изучить векторный подход к задачам, связанным с кеплеровым движением,вывести третий закон Кеплера и решить задачу двух тел.

Часть A.Вектор Лапласа$~$-$~$Рунге$~$-$~$Ленца.

Частица массы $m$ движется в центральном поле $U=-\frac{\alpha}{r}$. Энергия системы равняется $E$, момент импульса частицы относительно центра равняется $L$. Перед вами стоит задача описать траекторию частицы
$$
$$
Примечание:Вам может понадобиться следующее векторное равенство
$$[\vec{a}\times[\vec{b}\times\vec{c}]]=\vec{b}\cdot(\vec{a}\vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\vec{b})
$$

A1 Найдите ускорение частицы $\vec{a}$ в произвольный момент времени. Ответ выразите через $\alpha$,$m$,$r$ и единичный вектор $\vec{e_r}$, направленный вдоль радиус-вектора частицы

A2 Выразите вектор момент импульса $\vec{L}$ через $m$,$r$ и $\vec{\omega}$, где $\vec{\omega}$ - вектор угловой скорости вращения радиус-вектора.

A3 Покажите, что
$$\frac{d\vec{e_r}}{dt}=[\vec{\omega}\times\vec{e_r}]
$$

A4 Используя результаты первых трёх пунктов, покажите,
$$\vec{a}=\frac{\alpha}{L^2}\cdot[\vec{L}\times\frac{d\vec{e_r}}{dt}]
$$

Из последнего соотношения следует, что векторная величина
$$\vec{A}=[\vec{v}\times\vec{L}]-{\alpha}\vec{e_r}
$$
является интегралом движения, т.е производная данной величины по времени равняется нулю.
$$
$$
Вектор $\vec{A}$ называется вектором Лапласа$~$-$~$Рунге$~$-$~$Ленца. Часто использование данной величины позволяет решить задачи о кеплеровом движении значительно быстрее.Переходим к следующей части

Часть B.Годограф вектора скорости и уравнение траектории.

B1 Найдите скорость частицы с точностью до векторной произвольный постоянной.Ответ выразите через $\alpha$,$\vec{L}$ ,$\vec{e_r}$ и произвольную постоянную $\vec{C}$

B2 Дайте геометрическую интерпретацию уравнению,полученному в предыдущем пункте,указав геометрическое место точек, где может оказаться конец вектора скорости частицы, а также начало отсчёта вектора скорости.

B3 Выражение для момента импульса можно преобразовать к виду
$$\vec{L}=mr\cdot\vec{B}
$$
Выразите вектор $\vec{B}$ черех $\vec{e_r}$,$\vec{L}$,$\alpha$ и $\vec{C}$

B4 Введём 2 единичных вектора:$\vec{k}$, направленный вдоль момента импульса и $\vec{e_n}$ такой что
$$\vec{e_r}=[\vec{e_n}\times\vec{k}]
$$
Пусть угол между векторами $\vec{C}$ и $\vec{e_n}$ равен $\varphi$.
$$
$$
Выражение для $r$ представимо в виде
$$r=\frac{p}{1+e~cos{\varphi}}
$$
Выразите $p$ и $e$ через $L$,$\alpha$,$m$,$C$ и $\varphi$

Уравнение, полученное в пункте B4, представляет собой уравнение конического сечения относительно одного из его фокусов. В случае $\alpha>0$ Данное уравнение может представлять собой эллипс,параболу и гиперболу, а в случае $\alpha<0$ - только гиперболу, поскольку эксцентриситет $e$ данной орбиты должен быть больше 1.
$$
$$
Полученное нами выражение для $e$ в предыдущем пункте содержит неизвестную константу $C$.

B5 Выразите $e$ через $E$,$L$,$\alpha$,$m$

Часть C. Третий закон Кеплера.

Пусть частица движется по эллиптической орбите. В этой части задачи нам необходимо найти период её обращения.
Примечание:Площадь эллипса $S$ равняется
$$S={\pi}ab
$$

C1 Из закона сохранения момента импульса следует, что скорость заметания площади радиус-вектором $\sigma$ остаётся постоянной в процессе движения.
$$
$$
Выразите $\sigma$ через $L$ и $m$

C2 Выразите $b$ через $a$ и $e$

C3 Выразите $a$ и $b$ через $E$,$L$,$\alpha$ и $m$

C4 Выразите период обращения $T$ через $a$,$\alpha$ и $m$

Часть D. Задача двух тел в случае гравитационного взаимодействия.

Рассмотрим две взаимодействующих только друг с другом частицы массами $m_1$ и $m_2$. Поскольку центр масс частиц движется с постоянной скоростью, для описания движения частиц необходимо описать движение частиц друг относительно друга.
$$
$$
Пусть $\vec{r_{12}}$ - радиус-вектор, проведённый от первой частицы ко второй.

D1 Найдите ускорения $\vec{a_1}$ и $\vec{a_2}$ первой и второй частиц соответственно. Ответы выразите через $\alpha$,$m_1$,$m_2$ и $\vec{r_{12}}$

D2 Уравнение движения второй частицы относительно первой представимо в следующем виде
$${\mu}\vec{a_{отн}}=-\frac{{\alpha}\vec{r_{12}}}{r^3_{12}}
$$
Выразите $\mu$ через $m_1$ и $m_2$

Как видно из выражения в пункте $D2$, движение частицы массы $\mu$ в том же силовом поле описывает движение второй частицы относительно первой.
$$
$$
Пусть $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ - векторы скоростей первой и второй частиц соответственно.

D3 Найдите период обращения второй частицы относительно первой $T_{21}$. Ответ выразите через $\alpha$,$m_1$,$m_2$,$r_{12}$,$\vec{v_1}$,$\vec{v_2}$