A1.1  ^?? Покажите, что, если $u$ есть относительное смещение положительных и отрицательных ионов с зарядом $\pm e$ и приведенной массой $\mu$, уравнение движения имеет вид $$\mu \frac{\mathrm d^{2} u}{\mathrm d t^{2}}=-k_{0} u+e E \tag{1}$$ и что поляризация $P$ определяется уравнением $$P=\frac{1}{V}\left[\left(\alpha_{+}+\alpha_{-}\right) E+e u\right], \tag{2}$$ где $\alpha_{+}$и $\alpha_-$ – поляризуемости ионов, а $V$ – объем, содержащий пару ионов.

Прежде всего вспомните определение электрического смещения $D$ в изотропной среде с относительной диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_{r}$ : $$D=\varepsilon_{0} \varepsilon_{r} E=\varepsilon_{0} E+P. \tag{3}$$

В рассматриваемом кубическом кристалле одно и то же уравнение описывает движение вдоль направления любой из осей куба $x' x$, $y'y$ или $z' z$ (рис. 2).

Из-за кубической симметрии кристалла коэффициент $k_{0}$ одинаков для любого направления перемещения. Уравнения движения обоих видов ионов имеют вид $$m_{+} \frac{\mathrm d^{2} u_{+}}{\mathrm d t^{2}}=-k_{0}\left(u_{+}-u_{-}\right)+e E \quad и \quad m_{-} \frac{\mathrm d^{2} u_{2}}{\mathrm d t^{2}}=-k_{0}\left(u_{-}-u_{+}\right)-e E.$$ Умножая эти уравнения поочередно на $m_{-}$ и $m_{+}$, затем вычитая одно из другого и разделив полученный результат на $m_{+}+m$, получаем уравнение $(1)$. Дипольные моменты, обусловленные двумя видами ионов, равны соответственно. $$e u_{+}+\alpha_{+} E \quad и \quad-e u_{-}+\alpha_{-} E.$$ Первый член соответствует смещению иона, а второй – его деформации. Поскольку в единице объема содержится $1/V$ пар ионов, поляризацию $P$ можно получить умножением суммы дипольных моментов на $1/V$, после чего и придем к уравнению $(2)$.

A1.2  ^?? Решением уравнения $(1)$ является гармоническое движение с угловой частотой $\omega$. Эта угловая частота принимает значение $\omega_{r}$, если имеют место лишь короткодействующие взаимодействия. Найдите дисперсионное выражение $\varepsilon_{r}(\omega)$ из уравнений $(1)$, $(2)$ и $(3)$. Покажите, что оно может быть записано в виде $$n^{2}=\varepsilon_{r}=\varepsilon_{\infty}+\frac{\varepsilon_{s}-\varepsilon_{\infty}}{1-\left(\omega / \omega_{t}\right)^{2}} \tag{4}$$ где $\varepsilon_{s}$ – относительная диэлектрическая проницаемость для электростатического поля ($\omega \rightarrow 0$), а $\varepsilon_{\infty}$ – относительная диэлектрическая проницаемость для высоких частот ($\omega \gg \omega_{t}$). Изобразите кривую $\varepsilon_{r}(\omega)$. Пусть $\omega_{1}$ – частота, для которой $\varepsilon_{r}=0$. Найдите соотношение $\omega_{1}/\omega_{t}$ как функцию $\varepsilon_{s}$ и $\varepsilon_{\infty}$.

Гармоническое решение уравнения $(1)$: $$-\omega^{2} u=-\frac{k_{0}}{\mu} u+\frac{e}{\mu} E.$$ Если поле $E$ равно нулю, т. е. если нет дальнодействующего взаимодействия, это уравнение приводится к виду $$-\omega^{2} u=-\frac{k_{0}}{\mu} u=-\omega_{t}^{2} u$$ отсюда $$\frac{u}{E}=\frac{e}{\mu} \frac{1}{\omega_{t}^{2}-\omega^{2}}. \tag{6}$$ Диэлектрическая проницаемость $\varepsilon_{r}$ получается из соотношения $(3)$, так что, используя $(2)$, находим $$\varepsilon_{r}=1+\frac{P}{\varepsilon_{0} V}=1+\frac{\alpha_{+}+\alpha_{-}}{\varepsilon_{0} V}+\frac{e}{\varepsilon_{0} V} \frac{u}{E}. \tag{7}$$ Ионы слишком тяжелы, чтобы следовать за полем в случае оптических частот, и поэтому в уравнении $(7)$ надо учесть только первые два члена: $$\varepsilon_{\infty}=1+\frac{\alpha_{+}+\alpha_{-}}{\varepsilon_{0} V}. \tag{8}$$ В электростатическом поле $E_{s}(\omega=0)$ уравнение $(7)$ принимает вид $$\frac{u}{E_{0}}=\frac{e}{\mu \omega_{t}^{2}}$$ откуда $$\varepsilon_{s}=1+\frac{\alpha_{+}+\alpha_{-}}{\varepsilon_{0} V}+\frac{e^{2}}{\varepsilon_{0} V}=\varepsilon_{\infty}+\frac{e^{2}}{\varepsilon_{0} V}. \tag{9}$$ Из $(7)$, $(8)$ и $(9)$ получаем дисперсионное соотношение $(4)$ $$\varepsilon_{r}=\varepsilon_{\infty}+\frac{\varepsilon_{s}-\varepsilon_{\infty}}{1-\left(\omega / \omega_{t}\right)^{2}}$$

При $\omega=\omega_{t}$ получаем $\varepsilon_{r}=\infty$. Значение $\varepsilon_{r}$ положительно при $0<\omega<\omega_{t}$ [второй член в правой части $(4)$ при этом положителен] и при $\omega_{l}<\omega$, где $\omega_{l}$ такое значение $\omega$, что при ее увеличении второй член является отрицательной величиной, меньшей чем $\varepsilon_{\infty}$ по абсолютной величине. Тогда $\omega_{l}$ соответствует $\varepsilon_{r}=0$, так что $$\omega_{l}=\omega_{t} \sqrt{\frac{\varepsilon_{s}}{\varepsilon_{\infty}}}. \tag{10}$$ Показатель преломления $\hat{n}=\sqrt{\varepsilon_{r}}$ является, таким образом, комплексной величиной: $\hat{n}=n -j k;$ $n$ – вещественный показатель преломления, а $k$ – коэффициент поглощения; $\hat{n}$ принимает действительные значения при частотах, меньших $\omega_{t}$ и больших $\omega_{l}$. Между этими пределами значения, принимаемые $\hat n$, чисто мнимые (рис. 3).

B1  ^?? Нарисуйте кривую зависимости коэффициента отражения $R$ от $\omega$ при нормальном падении света на кристалл.

Пусть $\omega_{r}$ – частота, для которой $R=0$. Найдите соотношение между $\omega_{r}$, $\omega_{t}$, $\varepsilon_{s}$ и $\varepsilon_{\infty}$. 

Коэффициент отражения при нормальном падении можно получить с помощью обобщенной формулы Френеля $$R=\left(\frac{\hat {n}-1}{\hat{n}+1}\right)^{2}=\frac{(n-1)^{2}+k^{2}}{(n+1)^{2}+k^{2}}. \tag{11}$$ Между значениями $\omega_{t}$ и $\omega_{l}$, где $n$ – чисто мнимая величина, $R=k^{2} / k^{2}=1$ (рис. 4) и имеет место полное отражение.

$R$ становится исчезающе малым при $n=1$, или $\varepsilon_{r}=1$, так что для данной частоты $\omega_{r}$, используя $(4)$, получаем $$\left(\frac{\omega_{r}}{\omega_{t}}\right)^{2}=\frac{\varepsilon_{s}-1}{\varepsilon_{\infty}-1} \tag{12}$$ 

Приложение

$\lambda=2 \pi c / \omega$, поэтому $$\left(\frac{\lambda_{t}}{\lambda_{r}}\right)^{2}=\left(\frac{\omega_{r}}{\omega_{t}}\right)^{2}=\left(\frac{61.1}{31}\right)^{2}=3.88$$ С другой стороны, $$\frac{\varepsilon_{s}-1}{\varepsilon_{\infty}-1}=\frac{4.62}{1.25}=3.69$$ 

C1  ^?? Экспериментальные кривые $\varepsilon_{r}(\omega)$ и $R(\omega)$ значительно отличаются от теоретических кривых, найденных в разделах A1.1, A1.2 и B1. В частности, $\varepsilon_{r}$ остается конечной величиной при $\omega=\omega_{t}$, и имеется максимальное значение $R$, меньшее единицы, при определенной частоте $\omega_{m}$. Чтобы интерпретировать эти результаты, в уравнение движения $(1)$ введите член, учитывающий тормозящую силу $-\gamma \mathrm d u / \mathrm d t$. Что произойдет с этим уравнением, имеющим периодическое комплексное решение? Что произойдет с уравнением $(4)$? Предположите, что отношение $\gamma / \omega t$ мало и рассмотрите, как это влияет на кривую $R(\omega)$. Хэвлок показал, что это выражение стремится к виду $$\frac{\omega_{m}}{\omega_{t}}=\left(1+\frac{\varepsilon_{s}-\varepsilon_{\infty}}{6 \varepsilon_{\infty}-4}\right)^{1 / 2}. \tag{5}$$ С помощью этого выражения найдите $\lambda_{m}$ для $\mathrm{NaCl}$ и сравните ее с экспериментальным значением, равным $52~мкм$.

Для гармонического решения, записанного в комплексной форме, уравнение движения $$\mu \frac{\mathrm d^{2} u}{\mathrm d t^{2}}+\gamma \frac{\mathrm d u}{\mathrm d t}-k_{0} u=e E$$ принимает вид $$-\omega^{2} u=\left(-\omega_{t}^{2}+j \frac{\gamma}{\mu} \omega\right) u+\frac{e}{\mu} E.$$ Теперь достаточно заменить $\omega_{i}^{2}$ на $\omega_{t}^{2}+\left(j\gamma / \mu\right) \omega$ в расчетах ко второй части этой задачи, чтобы получить вместо $(4)$ дисперсионное соотношение \[\begin{array}{r} \hat{n}^{2}=\left(n-j k\right)^{2}=\varepsilon_{r}=\varepsilon_{\infty}+\frac{\varepsilon_{s}-\varepsilon_{\infty}}{1-\left(\omega / \omega_{t}\right)^{2}+\left(j \gamma / \mu \omega_{t}\right)\left(\omega / \omega_{t}\right)}= \\ =\varepsilon_{\infty}+\frac{A}{\omega_{t}^{2}-\omega^{2}+j(\gamma / \mu) \omega} \tag{13}\end{array}\] где $A=\left(\varepsilon_{s}-\varepsilon_{\infty}\right) \omega_{t}^{2}$ является константой. Разделяя действительную и мнимую части комплексного показателя преломления в $(13)$, находим $$n^{2}-k^{2}=\varepsilon_{\infty}+\frac{A\left(\omega_{t}^{2}-\omega^{2}\right)}{\left(\omega_{t}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\left(\gamma^{2} / \mu^{2}\right) \omega^{2}}$$ $$2 n k =\frac{A \gamma \omega}{\left(\omega_{t}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\left(\gamma^{2} / \mu^{2}\right) \omega^{2}}$$ Видно, что благодаря наличию члена с $\gamma$, $n^{2}$ всегда принимает конечное значение и никогда не является мнимой величиной.

Кроме того, $R$ всегда меньше единицы, т. е. отражение никогда не бывает полным. $R$ достигает высоких значений ($0.8-0.95$) только между $\omega_{t}$ и $\omega_{l}$ (рис. 5).

 

Приложение

При заданных численных значениях величин уравнение $(5)$ имеет вид $$\left(\frac{\omega_{m}}{\omega_{t}}\right)^{2}=\left(\frac{61.1}{\lambda_{m}}\right)^{2}=1+\frac{5.62-2.25}{6 \cdot 2.25-4}=1.355,$$ откуда $$\lambda_{m}=\frac{61.1}{\sqrt{1.355}}=52.5~мкм$$