A1.1  ^?? Выражение для относительной диэлектрической проницаемости такой среды для электромагнитных волн с частотой $\nu$. Покажите, что роль положительных ионов незначительна, поскольку масса $M$ во много раз больше массы $m_{0}$.

Уравнения движения ионов имеют вид $$m_{0} \frac{\mathrm d^{2} s}{\mathrm d t^{2}}=-e E_{m} \sin \omega t, \quad M \frac{\mathrm d^{2} S}{\mathrm d t^{2}}=e E_{m} \sin \omega t$$ $$s=\frac{e E_{m}}{m_{0} \omega^{2}} \sin \omega t, \quad S=\frac{e E_{m}}{M \omega^{2}} \sin \omega t$$ где $s$ и $S$ имеют противоположные направления. Так как $S/s=m_0/M$, то $S$ пренебрежимо мало по сравнению с $s$, если $m_{0}$ мало по сравнению с $M$. Диэлектрическая проницаемость тогда равна $$\varepsilon_{r}=1-\frac{N e^{2}}{\varepsilon_{0} m_{0} \omega^{2}}=1-\frac{N e^{2}}{4 \pi^{2} \varepsilon_{0} m_{0} \nu^{2}}, $$ $$\varepsilon_{r}=1-\frac{1.226 \cdot 10^{12} \cdot 2.56 \cdot 10^{-38} \cdot 4 \pi \cdot 9 \cdot 10^{9}}{4 \pi^{2} \cdot 9 \cdot 10^{-31} \nu^{2}}=1-\frac{10^{14}}{\nu^{2}}.$$

A1.2  ^?? Фазовую скорость $v_{\varphi}$ электромагнитных волн с частотой $\nu$, если магнитная проницаемость среды равна единице. Минимальное значение частоты $\nu_{c}$, для которого $v_{\varphi}$ является действительной величиной.

Фазовая скорость $v_{\varphi}$ связана со скоростью света в вакууме соотношением $$v_{\varphi}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{r}}}=\frac{c}{\sqrt{1-\left(N e^{2} / 4 \pi^{2} \varepsilon_{0} m_{0} \nu^{2}\right)}}=\frac{c}{\sqrt{1-\left(10^{14} / \nu^{2}\right)}}$$ Чтобы $v_{\varphi}$ имело действительное значение, подкоренное выражение должно быть положительным, так что $$\frac{N e^{2}}{4 \pi^{2} \varepsilon_{0} m_{0} \nu^{2}}<1$$ Частота $\nu$ должна тогда иметь значение, большее граничной частоты $\nu_{c}$, определяемой соотношением $$\nu_{c}=\sqrt{\frac{N e^{2}}{4 \pi^{2} \varepsilon_{0} m_{0}}}=10^{7}.$$ Тогда можно записать $$\varepsilon_{r}=1-\frac{\nu_{c}^{2}}{\nu^{2}}.$$

A1.3  ^?? Соотношение между фазовой скоростью $v_{\varphi}$, групповой скоростью $v_{g}$ волн в такой среде и скоростью $c$ волн, распространяющихся в вакууме.

Соотношение между групповой $v_{g}$ и фазовой $v_{\varphi}$ скоростями может быть записано как $$\frac{1}{v_{g}}=\frac{\mathrm d}{\mathrm d \omega}\left(\frac{\omega}{v_{\varphi}}\right)=\frac{\mathrm d}{\mathrm d \nu}\left(\frac{\nu}{v_{\varphi}}\right)=\frac{1}{c} \frac{\mathrm d(n\nu)}{\mathrm d \nu}=\frac{1}{c} \frac{\mathrm d \left(\nu \sqrt{\varepsilon_{r}}\right)}{\mathrm d \nu},$$ так что $$\begin{aligned} \frac{c}{v_{g}}=\frac{\mathrm d}{\mathrm d \nu}\left(\nu \sqrt{1-\frac{\nu_{c}^{2}}{\nu^{2}}}\right. & =\frac{\mathrm d\left(\sqrt{\nu^{2}-\nu_{c}^{2}}\right)}{\mathrm d \nu}= \\ & =\frac{\nu}{\sqrt{\nu^{2}-\nu_{c}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\nu_{c}^{2} / \nu^{2}\right)}}=\sqrt{\varepsilon_{r}}=\frac{v_{\varphi}}{c} . \end{aligned}$$ Таким образом

A1.4  ^?? Радиус кривизны траектории электромагнитных волн, распространяющихся в направлении, перпендикулярном вертикали, если принять, что в атмосферных газах при увеличении высоты на $100~м$ относительная величина $N$ убывает на $6\%$ и что частота рассматриваемых волн $\nu=2 \nu_{c}$. Определите направление кривизны траектории.

Кривизна линии, вдоль которой распространяется фронт волны, определяется выражением $$\frac{1}{\rho}=-\frac{1}{n} \frac {\mathrm d n}{\mathrm d z}=-\frac{1}{2 n^{2}} \frac{\mathrm d\left(n^{2}\right)}{\mathrm d z}=-\frac{1}{2 \varepsilon_{r}} \frac{\mathrm d \varepsilon_{r}}{\mathrm d z},$$ $$\frac{1}{\rho}=\frac{1}{2 \varepsilon_{r}} \frac{e^{2}}{4 \pi^{2} \varepsilon_{0} m_{0} \nu^{2}} \cdot \frac{\mathrm d N}{\mathrm d z}=\frac{1}{2 \varepsilon_{r}} \cdot \frac{\nu_{c}^{2}}{N \nu^{2}} \cdot \frac{\mathrm d N}{\mathrm d z}.$$ Для $\nu=2 \nu_{c}$ $$\frac{1}{\rho}=\frac{1}{8 \varepsilon_{r}} \cdot \frac{1}{N} \cdot \frac{\mathrm d N}{\mathrm d z}$$ и при $\varepsilon_{r}=1-1/4=3/4$ $$\frac{1}{\rho}=\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{N} \cdot \frac{\mathrm d N}{\mathrm d z}=\frac{1}{6} \cdot \frac{6}{10^{4}}=10^{-4}~м^{-1}, \quad \rho=10^{4}~м$$ В то время как $N$ уменьшается при увеличении высоты, $\varepsilon_{r}$ – увеличивается и $\mathrm d \varepsilon_{r} / \mathrm d z$ положительно.

B1.1  ^?? Пространство разделено бесконечной плоскостью на две половины, в одной из которых $(1)$ находится описанный выше ионизированный газ, а во второй $(2)$ такой же газ, но свободный от ионов. Определите значение коэффициента отражения энергии (при перпендикулярном падении) для волн с частотой $\nu=2 \nu_{c}$.

Коэффициент отражения энергии при нормальном падении имеет вид $$R=\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{2}=\left(\frac{\sqrt{\varepsilon_{r}}-1}{\sqrt{\varepsilon_{r}}+1}\right)^{2}$$ для любого направления распространения $$R=\left(\frac{\sqrt{0.75}-1}{\sqrt{0.75}+1}\right)^{2}=\left(\frac{0.866-1}{0.866+1}\right)^{2}=\left(\frac{-0.134}{1.866}\right)^{2}=(-0.073)^{2}=53 \cdot 10^{-4}$$.

B1.2  ^?? Каков должен быть угол падения для тех же волн, падающих на поверхность раздела при заданной ориентации электрического вектора падающих волн, чтобы колебания электрического вектора отраженных волн были перпендикулярны плоскости падения?

Рассмотрите оба случая, когда волны распространяются в направлении от $(1)$ к $(2)$ и от $(2)$ к $(1)$.

Численные значения: $N=1.226 \cdot 10^{12}~м^{-3}$ (заданы также значения $e$, $m_{e}$ и $c$).

Искомый угол – это угол Брюстера $i_{B}$, который определяется из соотношения $$\operatorname{tg} i_{B}=n=\sqrt{\varepsilon_{r}}=0.866$$ Для волн, распространяющихся в ионизованной среде, $$i_{B}=40^{\circ} 54'$$ При распространении в противоположном направлении $$\operatorname{tg} i_{B}'=\frac{1}{n}=\operatorname{ctg} i_{B},$$ $$i_{B}' =49^{\circ} 6'.$$