При остывании тело передаёт теплоту окружающей среде, причём в единицу времени передаётся теплота $$q=\alpha A\left(T-T_0\right) \tag{1}$$ где $\alpha$ – коэффициент теплопотерь, $A$ – площадь поверхности тела, $T$ –температура тела, $T_0$ – температура окружающей среды. Удельная теплоёмкость материала линейки $c=460~Дж/(кг\cdot{ }^{\circ} \mathrm{C})$, его плотность $\rho=7800~кг/м^3$.
Для остывающего тела с теплоёмкостью $C$ можно записать уравнение теплового баланса: $$C \cdot\mathrm d T=-\alpha A\left(T-T_0\right) \cdot\mathrm d t \tag{2}$$ Если это выражение проинтегрировать, то можно получить зависимость температуры остывающего тела от времени: $$T(t)=T_0+\left(T_{\max }-T_0\right) \cdot \exp \left(-\frac{\alpha A}{C} t\right) \tag{3}$$ где $T_{\max }$ – максимальная температура тела, то есть температура тела в начальный момент времени. Здесь используется обозначение: $\exp (x)=e^{x}$.
Если стержень нагревать с одного конца, а боковой поверхности дать обмениваться теплотой с окружающей средой, то в стационарном режиме установится некоторое pacпределение температур $T(x)$. Для того, чтобы найти зависимость температуры от координаты, можно считать, что стержень очень длинный и другой конец имеет комнатную температуру. Это распределение зависит от температуры горячего конца $T_{\max }$, температуры окружающей среды $T_{0}$, геометрических размеров стержня и отношения коэффициентов теплопотерь и теплопроводности $\left({\alpha}/{\lambda}\right)$, но не зависит явным образом от подводимой мощности:
$$T(x)=T_{0}+\left(T_{m} a x-T_{0}\right) \exp (-b x), \quad b=\sqrt{\frac{\alpha P}{\lambda S}} \tag{4}$$Здесь $P$ – периметр сечения стержня, $S$ – площадь поперечного сечения (рисунок 1).
B1 3.20 В качестве нагреваемого стержня будем использовать линейку. Соберите установку, которая позволит нагревать линейку с одного конца. Изучая зависимость температуры от координаты при остывании, определите отношение коэффициентов $\left({\alpha}/{\lambda}\right)$ с погрешностью. Зарисуйте схему установки, приведите её параметры и расчетные формулы.