Изучение движения вязких жидкостей в трубах — важная часть гидродинамики, необходимая и в технике (нефте- и водопроводы), и в биологии (кровообращение).
Одной из ключевых характеристик такого течения является гидродинамическое сопротивление — величина, показывающая, какая разность давлений нужна для обеспечения заданного объёмного расхода. Для установившегося ламинарного течения в цилиндрической трубе разность давлений связана с расходом так же, как в электричестве напряжение связано с током:
Таким образом, «Закон Ома для гидродинамики» записывается как:
$$
\Delta P = Q \cdot Z
$$
Эта аналогия позволяет перенести хорошо разработанные методы расчета сложных электрических цепей на анализ гидродинамических систем. В отличие от электричества, где перенос заряда определяется свойствами материала проводника, в жидкости движение ограничивается внутренним трением — вязкостью.
Если разделить жидкость на много тонких слоёв одинаковой толщиной $\Delta r$, которые движутся относительно друг друга с разными скоростями, то между соседними слоями возникает сила внутреннего трения:
$$F_{fr}=\eta\,\frac{\Delta v}{\Delta r}\,S,$$
где $\eta$ — коэффициент вязкости жидкости, $\Delta v$ — разность скоростей слоёв, $S$ — площадь соприкосновения слоёв.
Во многих задачах гидродинамики удобно рассматривать отношение перепада давления к длине трубы как одну величину: $$G=\frac{\Delta P}{L},$$где $\Delta P$ — перепад давления на отрезке трубы длиной $L$.
Тогда объёмный расход $Q$ при ламинарном течении по цилиндрической трубе зависит от радиуса $R$, вязкости $\eta$ и $G$ следующим образом:
$$
Q = C\, R^{a}\, G^{b}\, \eta^{c},$$
где $C$ — безразмерная константа, а $a,b,c$ — целые показатели степеней.
Далее рассмотрим стационарное течение несжимаемой вязкой жидкости по горизонтальной цилиндрической трубе радиусом $R$ и длиной $L$. По всей площади поперечного сечения на концах трубы поддерживается разность давлений $\Delta P$. Скорость жидкости $v(r)$ зависит от расстояния $r$ от оси трубы: в центре скорость максимальна, а у стенки $r=R$ — равна нулю.
Чтобы вычислить объёмный расход $\Delta Q$ жидкости через тонкий цилиндрический слой между радиусами $r$ и $r+\Delta r$ (см. рис. 3), можно заметить, что площадь торцевой поверхности этого слоя равна $2\pi r \,\Delta r$. Умножив её на скорость $v$, получаем:$$\Delta Q = 2\pi r \,\Delta r \cdot v.$$Эту формулу можно переписать в виде$$\Delta Q = \pi v\,\Delta(r^2),$$где величина $v \Delta(r^2)$ пропорциональна площади участка под графиком $v(r^2).$
Полученное выражение называется формулой Пуазейля.
Вязкая жидкость течёт с объёмным расходом $Q$ по трубe радиусом $R$ и длиной $L$. Эта труба разветвляется на $N$ одинаковых параллельных узких трубок, каждая из них длиной $\beta L$ и радиусом $\alpha R$.
В пункте B6 вы получили формулу Пуазейля для ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе. Теперь перенесём эти идеи на реальную биологическую систему – кровообращение человека.
Примечание: если Вы не смогли вычислить безразмерный коэффициент $C$, то для дальнейшего решения задачи можете принять его равным 1 (это неправильное значение).
Кровообращение удобно рассматривать как гидродинамическую систему: сердце создаёт перепад давления, кровь течёт по сети сосудов, а суммарный расход один и тот же на всех уровнях — от аорты до венозного возврата. В этой задаче мы исследуем большой круг кровообращения в упрощённой модели, достаточной для количественных оценок:
Такая модель не описывает пульсаторность и упругость сосудов, но хорошо показывает, где сосредоточено сопротивление, как изменяется скорость на разных уровнях и как свойства крови влияют на работу сердца.
Упрощённые уровни сосудов большого круга кровообращения:
Уровень Радиус $R$, мм Длина $L$, см Число сосудов $n$ Аорта 12.5 40 1 Крупные артерии 2.0 20 100 Артериолы 0.030 0.6 $5\times10^5$ Капилляры 0.0035 0.2 $10^{10}$
Уровень $Z$, $\Delta P$, Па Аорта Крупные артерии Артериолы Капилляры
При физической нагрузке объёмный расход увеличивается до $Q=4Q_0$. Организм достигает этого за счёт увеличения частоты и силы сокращений сердца, а также увеличения радиуса артериол на $20\%$.
Транспорт газов является одной из важнейших функций крови. Кровеносная система – система органов, благодаря которой происходит движение крови между непосредственным окружением каждой клетки и тканями, где происходит обмен с внешней средой.
Далее будем рассматривать только сердечно-сосудистую систему человека.
Парциальные давления кислорода и углекислого газа меняются по мере перемещения этих газов по кровеносной системе. На рисунке ниже цифрами отмечены некоторые части кровеносной системы человека. Парциальные давления газов в этих частях приведены ниже под буквами A-E.
A. $P(\text{O}_2) = 100$ мм рт.ст., $P(\text{CO}_2) = 40$ мм рт.ст.;
B. $P(\text{O}_2)< 40$ мм рт.ст., $P(\text{CO}_2) > 46$ мм рт.ст.;
C. $P(\text{O}_2) = 160$ мм рт.ст., $P(\text{CO}_2) = 0.3$ мм рт.ст.;
D. $P(\text{O}_2) = 40$ мм рт.ст., $P(\text{CO}_2) = 46$ мм рт.ст.;
E. $P(\text{O}_2) = 105$ мм рт.ст., $P(\text{CO}_2) = 40$ мм рт.ст.
Обратим внимание, что на движение крови влияет также и гравитация. Когда мы стоим или сидим, сила тяжести действует на кровь, например, в наших ногах, затрудняя её движение вверх. В таблице ниже указаны некоторые возможные факторы, способствующие возврату крови по венам к сердцу.
A. Сокращение скелетной мускулатуры, окружающей вены. E. Меньшая вязкость венозной крови по сравнению с артериальной. B. Низкая толщина стенок вен по сравнению со стенками артерий. F. Сокращения стенок некоторых вен. C. Работа клапанов внутри сосудов. G. Низкая насыщенность крови кислородом. D. Отрицательное давление в грудной клетке во время вдоха. H. Отрицательное давление в предсердиях при систоле желудочков.
Артериальное давление в организме не является постоянным, а зависит от многих факторов. В том числе на артериальное давление влияют некоторые гормоны.
E4 В таблице в листе ответов приведён список гормонов человека. Для всех гормонов отметьте в таблице их природу и орган, ответственный за вырабатывание данного гормона: поставьте '+' в соответствующих ячейках. Кроме того, поставьте '+' в последней строке напротив тех гормонов, которые приводят к повышению артериального давления (АД).
Природа Инсулин Адреналин Вазопрессин Тестостерон Тироксин Кортизол Аминокислоты и их производные Пептиды и белки Жирорастворимые стероиды
Таблица 1. Классификация гормонов
Орган Инсулин Адреналин Вазопрессин Тестостерон Тироксин Кортизол Задняя доля гипофиза Кора надпочечников Островки Лангерганса поджелуд. железы Щитовидная железа Семенники
Инсулин Адреналин Вазопрессин Тестостерон Тироксин Кортизол Повышает АД
Диффузия кислорода из воздуха в кровь происходит в альвеолах. Закон Фика гласит, что при наличии перепада концентрации частиц $\Delta n$ поток частиц $j$ (число частиц в единицу времени на единицу площади) пропорционален $\Delta n$: $$ j = \dfrac{\Delta N}{\Delta S\Delta t} = D \dfrac{\Delta n}{d}. $$ Здесь $D$ – коэффициент диффузии, $d$ – толщина барьера.
Будем считать, что на один моль кислорода выделяется энергия $Q = 470$ кДж/моль, а вырабатываемая человеком мощность равна $W = 1$ кВт. Перепад концентраций кислорода между альвеолярным воздухом и капиллярами соответствует перепаду давлений $\Delta p = 8$ кПа, температура тела равна $T = 37\,^\circ\mathrm{C}$.
Для нормальной работы клеток организма требуется постоянное значение $\text{pH}$ крови и межклеточной жидкости.
Наибольшую роль в поддержании гомеостаза играет бикарбонатный буферный раствор, состоящий из угольной кислоты $\text{H}_2\text{C}\text{O}_3$ и бикарбоната $\text{H}\text{C}\text{O}_3^-$. При температуре $37\,^\circ\mathrm{C}$ для угольной кислоты $\text{p}K_{a_1} = 3.57$.
Чтобы понять принцип работы буферного раствора, рассмотрим 2 раствора:
(A) 1 литр $0.15~\text{M}~\text{H}_2\text{C}\text{O}_3$;
(B) 1 литр буферного раствора, полученного смешением 500 мл $0.30~\text{M}~\text{H}_2\text{C}\text{O}_3$ и 500 мл $0.30~\text{M}~\text{Na}\text{H}\text{C}\text{O}_3$.
Пусть к каждому раствору добавили 0.2 литра $0.1~\text{M}~\text{HCl}$.
Угольная кислота в организме образуется в результате растворения (р) в воде углекислого газа:$$\text{CO}_2(\text{р}) + \text{H}_2\text{O} \rightleftharpoons \text{H}_2\text{C}\text{O}_3.$$Константа равновесия гидратации углекислого газа равна $K_h = 3.0\cdot10^{-3}$.
Концентрация углекислого газа в крови соответствует его парциальному давлению $p(\text{CO}_2) = 5.3$ кПа. Константа Генри для растворения углекислого газа при температуре $37\,^\circ\mathrm{C}$ равна $k = 2.3\cdot10^{-4}$ моль/(м${}^3\cdot$ Па).
Ещё одной буферной системой в крови является смесь протонированного и депротонированного гемоглобина. Уравнения химического равновесия для оксигемоглобина и дезоксигемоглобина имеют вид: $$\text{Hb}\text{O}_2\text{H} \rightleftharpoons\text{HbO}_2^- + \text{H}^+,\quad \text{p}K_a = 8.18; \\ \text{HbH} \rightleftharpoons\text{Hb}^- + \text{H}^+,\quad \text{p}K_a = 6.62. $$
Поскольку кислород плохо растворяется в воде, для его эффективного переноса организмам необходимы специальные приспособления. У крупных многоклеточных организмов в ходе эволюции появились белки, которые запасают и переносят кислород. Однако боковые цепи аминокислот не могут обратимо связывать кислород в отличие от некоторых переходных металлов. Поэтому в организме человека для транспорта газов используется железо. Из-за высокой реакционной способности свободных ионов железа, оно используется в связанной форме. Гем – это связанное с белком соединение, в которое встроено железо.
Выделяют 4 уровня структурной организации белков: первичный, вторичный, третичный и четвертичный.
A. Дисульфидные мостики (–S–S–).
B. Ионные связи.
C. Водородные связи внутри молекулы.
D. Гидрофобные взаимодействия.
E. Пептидные связи.
F. Межмолекулярные водородные связи.
Структура Первичная Вторичная Третичная Четвертичная Связи
Миоглобин – кислородосвязывающий белок скелетных мышц и мышцы сердца.
В нормальных условиях, в отсутствие повреждения или воспаления мышечной ткани, миоглобин в кровь практически не попадает.
В свою очередь, гемоглобин осуществляет перенос газов в крови и состоит из четырёх субъединиц. Каждая субъединица состоит из гема и связанной с ним полипептидной цепочки.
Структура Только Третичная Четвертичная Миоглобин Гемоглобин Пепсин Капсид вируса табачной мозаики Трипсин АТФ-синтаза Альбумин
Важной особенностью многих белков является обратимое связывание других молекул. Молекула, которая обратимо связывается с белком, называется лигандом, а участок связывания на молекуле белка – центром связывания. Для переноса кислорода миоглобин должен как связывать молекулы кислорода, так и высвобождать их, а значит, происходит взаимодействие белка и лиганда.
Рассмотрим в общем случае равновесие в растворе между белком $\text{P}$, лигандом $\text{L}$ и комплексом $\text{PL}$. Связывание лиганда описывается реакцией$$\text{P} + \text{L} \rightleftharpoons \text{PL}$$с константой реакции $K_a$ ($a$ – реакция ассоциации). Доля занятых центров связывания лиганда называется степенью насыщения и обозначается $\theta$:$$\theta = \dfrac{[\text{PL}]}{[\text{PL}] + [\text{P}]}.$$
Важно, что для большинства лигандов их концентрация многократно превышает количество центров связывания.
Для газов полученные формулы остаются верными, однако вместо концентраций необходимо работать с парциальными давлениями. Например, давление кислорода, при котором степень насыщения миоглобина равна $50\%$ равно $p_{50}({\text{O}_2}) = 2$ мм рт.ст.
Огромную опасность для человека представляет угарный газ $\text{CO}$. Угарный газ также может связываться с миоглобином, а соответствующая константа равна $p_{50}({\text{CO}}) = p_{50}({\text{O}_2}) / 200$.
Температурная зависимость константы равновесия описывается уравнением Вант-Гоффа:
$$
\dfrac{\Delta \ln K_a}{\Delta T} = \dfrac{\Delta_r H^0}{RT^2},
$$где $\Delta_r H^0$ – стандартная молярная энтальпия реакции (индекс $r$ обозначает изменение величины в ходе реакции ассоциации). Считая, что $\Delta_r H^0$ практически не зависит от температуры в указанном диапазоне, уравнение можно преобразовать к виду
$$
\ln K_a = -\dfrac{\Delta_r H^0}{RT} + const.
$$В таблице в листе ответов приведены экспериментальные значения констант ассоциации при разных температурах в определённом буферном растворе.
$T,~^\circ \mathrm{C}$ 10 20 30 35 40 $K_a$ 3.09 1.38 0.66 0.48 0.33
Для белка, имеющего $n$ центров связывания, приближённо можно считать, что $n$ лигандов присоединяются за одну стадию:\[\text{P} + n\text{L} \rightleftharpoons \text{PL}_n\]Графиком Хилла называют график в координатах $\log_{10}\left(\dfrac{\theta}{1-\theta}\right)$ от $\log_{10}([\text{L}])$.
Оказывается, в гемоглобине наблюдается кооперативное взаимодействие субъединиц. Когда $\text{O}_2$ связывается с одной из единиц, остальные слегка меняют свою форму, тем самым увеличивая сродство к кислороду. И наоборот: когда все субъединицы находятся в связном состоянии, а одна субъединица высвобождает кислород, остальные также стремятся высвободить кислород. Угловой коэффициент наклона графика Хилла $n_H$ является мерой кооперативности.
Гемоглобин может находиться в двух состояниях: R и T. Кислород имеет большее сродство к гемоглобину в состоянии R, а в отсутствие кислорода более устойчиво состояние T. Именно благодаря переходам между такими состояниями гемоглобин в достаточном количестве связывает кислород в лёгких и высвобождает его в тканях.
G9 Укажите причину, почему миоглобин не может использоваться как эффективный переносчик кислорода от легких к тканям.
A. Молекула миоглобина имеет гиперболическую кривую связывания с кислородом.
B. Концентрация миоглобина в крови значительно меньше концентрации гемоглобина.
C. Молекула миоглобина более лёгкая, что делает её слишком подвижной.
D. Молекула миоглобина слишком маленькая, что может привести к её попаданию в другие ткани.
На самом деле, гемоглобин переносит не только кислород, но и протоны $\text{H}^+$. Для учёта влияния pH на связывание и высвобождение кислорода можно рассмотреть уравнение равновесия в виде $$ \text{HHb}^+ + \text{O}_2 \rightleftharpoons \text{HbO}_2 + \text{H}^+, $$ где $\text{HHb}^+$ – протонированная форма гемоглобина.
На рисунке ниже показаны кривые насыщения гемоглобина при различных pH. Две крайние кривые соответствуют $\text{pH} = 7.2$ и $\text{pH} = 7.6$.
Рассмотренное влияние pH на связывание и высвобождение кислорода называется эффектом Бора и обуславливает разную долю занятых центров гемоглобина в различных частях тела человека.
Лёгкие Ткани A B