В лабораторной системе:

Скорость тела до столкновения: $\vec{v}_0 = (v_{0x}, v_{0y})$
Скорость стенки: $\vec{u} = (-u, 0), \quad u > 0$


Относительная скорость тела в системе отсчета стенки:
\[
\vec{v}_0' = \bar{v}_0 - \bar{u}
\]

Покомпонентно:
\[
v_{0x}' = v_{0x} - (-u) = v_{0x} + u
\]
\[
v_{0y}' = v_{0y} - 0 = v_{0y}
\]

В системе отсчета стенки:
Стенка неподвижна (вертикальная)
Удар абсолютно упругий


Свойства упругого отражения от вертикальной стенки:
Нормальная компонента (горизонтальная) меняет знак
Касательная компонента (вертикальная) сохраняется

До удара в системе стенки: $\vec{v}_0' = (v_{0x} + u,\; v_{0y})$

После удара в системе стенки:
\[
v_x'^{\text{после}} = -(v_{0x} + u)
\]
\[
v_y'^{\text{после}} = v_{0y}
\]

Чтобы перейти обратно в лабораторную систему, нужно к скорости в системе стенки прибавить скорость стенки $\vec{u} = (-u, 0)$:

\[
\vec{v}_{\text{после}}^{\text{лаб}} = \vec{v}' + \vec{u}
\]

Покомпонентно:
\[
v_x^{\text{после}} = (-v_{0x} - u) + (-u) = -v_{0x} - 2u
\]
\[
v_y^{\text{после}} = v_{0y} + 0 = v_{0y}
\]

Ось \(Oy\) направлена вертикально вверх, ускорение свободного падения \(g > 0\), проекции ускорения:
\[
a_x = 0, \quad a_y = -g.
\]

Движение равномерное по \(x\), равноускоренное по \(y\):
\[
x(t) = v_{0x} t
\]
\[
y(t) = v_{0y} t - \frac{g t^2}{2}
\]

Из уравнения движения по вертикали \(y(t) = h\):
\[
v_{0y} t - \frac{g t^2}{2} = h
\]
Умножим на 2 и перегруппируем:
\[
g t^2 - 2 v_{0y} t + 2h = 0
\]

Решение квадратного уравнения:
\[
t_{1,2} = \frac{2v_{0y} \pm \sqrt{(2v_{0y})^2 - 4g \cdot 2h}}{2g} = \frac{2v_{0y} \pm \sqrt{4v_{0y}^2 - 8gh}}{2g}
\]

Пусть тело находится на одной высоте \(H\) в моменты времени \(t_1\) и \(t_2\). Тогда \(t_1\) и \(t_2\) являются корнями уравнения \(y(t) = H\):
\[
v_{0y} t - \frac{g t^2}{2} = H \quad\Longrightarrow\quad \frac{g}{2} t^2 - v_{0y} t + H = 0
\]
Здесь коэффициенты:
\[
A = \frac{g}{2}, \quad B = -v_{0y}, \quad C = H.
\]

По теореме Виета:
\begin{align*}
t_1 + t_2 &= -\frac{B}{A} = \frac{v_{0y}}{g/2} = \frac{2v_{0y}}{g} \\[2mm]
t_1 t_2 &= \frac{C}{A} = \frac{H}{g/2} = \frac{2H}{g}
\end{align*}

Выражаем \(v_{0y}\) и \(H\):

\[
v_{0y} = \frac{g(t_1 + t_2)}{2}, \quad H = \frac{g t_1 t_2}{2}.
\]

Тело возвращается на землю \(y=0\) в момент \(T > 0\). Уравнение:
\[
v_{0y} t - \frac{g t^2}{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad t\left(v_{0y} - \frac{g t}{2}\right) = 0
\]
Корни: \(t = 0\) (начало) и \(t = \frac{2v_{0y}}{g}\) (конец полета). Следовательно:
\[
T = \frac{2v_{0y}}{g}
\]
Подставляем \(v_{0y}\) из B3:
\[
T = \frac{2}{g} \cdot \frac{g(t_1 + t_2)}{2} = t_1 + t_2
\]

\[
T = t_1 + t_2
\]

Максимальная высота достигается в момент \(t_{\text{верш}} = \frac{v_{0y}}{g}\). Подставляем \(v_{0y}\) из B3:
\[
t_{\text{верш}} = \frac{t_1 + t_2}{2}
\]

Высота в этот момент:
\[
y_{\max} = v_{0y} t_{\text{верш}} - \frac{g}{2} t_{\text{верш}}^2
\]
Подставляем \(v_{0y}\) и \(t_{\text{верш}}\):
\begin{align*}
y_{\max} &= \frac{g(t_1 + t_2)}{2} \cdot \frac{t_1 + t_2}{2} - \frac{g}{2} \cdot \frac{(t_1 + t_2)^2}{4} \\
&= \frac{g(t_1 + t_2)^2}{4} - \frac{g(t_1 + t_2)^2}{8} \\
&= \frac{g(t_1 + t_2)^2}{8}
\end{align*}

Альтернативный способ:
\[
y_{\max} = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{\left[\frac{g(t_1 + t_2)}{2}\right]^2}{2g} = \frac{g^2 (t_1 + t_2)^2}{4} \cdot \frac{1}{2g} = \frac{g(t_1 + t_2)^2}{8}.
\]

Ось \(x\) направлена от места старта тела к месту падения без стенки.
Скорость стенки: \(\vec{u}_{\text{ст}} = -u \,\vec{e}_x\) (\(u>0\)).
До удара тело имеет скорость \(v_x = v_{0x}\).

Относительно стенки скорость тела до удара:
\[
v_{\text{отн}}^{\text{до}} = v_{0x} - (-u) = v_{0x} + u.
\]

После абсолютно упругого удара относительно стенки:
\[
v_{\text{отн}}^{\text{после}} = -(v_{0x} + u).
\]

В лабораторной системе:
\[
v'_x = v_{\text{отн}}^{\text{после}} + (-u) = -(v_{0x} + u) - u = -v_{0x} - 2u.
\]

Пусть \(T = t_1 + t_2\) — полное время полёта без стенки (из В4).
Стенка в момент \(t = 0\) находится в точке падения без стенки:
\[
X_{\text{ст}}(0) = v_{0x} T.
\]
Движение стенки: \(X_{\text{ст}}(t) = v_{0x} T - u t\).
Движение тела до удара: \(x(t) = v_{0x} t\).

Условие столкновения в момент \(\tau\):
\[
v_{0x} \tau = v_{0x} T - u \tau.
\]
\[
u \tau = v_{0x} (T - \tau).
\]
\[
u = v_{0x} \cdot \frac{T - \tau}{\tau}.
\]

Из B7 для двух экспериментов (\(t_1 < t_2\) — моменты удара):
\[
u_i = v_{0x} \cdot \frac{T - t_i}{t_i}, \quad i = 1, 2.
\]

После удара горизонтальная скорость тела (В6):
\[
v'_x(i) = -v_{0x} - 2u_i = -v_{0x} \left( 1 + 2\frac{T - t_i}{t_i} \right) = -v_{0x} \cdot \frac{2T - t_i}{t_i}.
\]

Координата удара: \(x_{\text{удар}}(i) = v_{0x} t_i\).
Оставшееся время полёта: \(T - t_i\).

Перемещение после удара:
\[
\Delta x_i = v'_x(i) \cdot (T - t_i) = -v_{0x} \frac{2T - t_i}{t_i} (T - t_i).
\]

Итоговая координата падения:
\[
X_i = x_{\text{удар}}(i) + \Delta x_i = v_{0x} \left[ t_i - \frac{(2T - t_i)(T - t_i)}{t_i} \right].
\]

Подставим \(T = t_1 + t_2\), \(T - t_1 = t_2\), \(T - t_2 = t_1\):

\[
X_1 = v_{0x} \left[ t_1 - \frac{(t_1 + 2t_2) t_2}{t_1} \right] = v_{0x} \cdot \frac{t_1^2 - t_1 t_2 - 2t_2^2}{t_1},
\]
\[
X_2 = v_{0x} \left[ t_2 - \frac{(t_2 + 2t_1) t_1}{t_2} \right] = v_{0x} \cdot \frac{t_2^2 - t_1 t_2 - 2t_1^2}{t_2}.
\]

Разность:
\[
X_1 - X_2 = v_{0x} \left[ \frac{t_1^2 - t_1 t_2 - 2t_2^2}{t_1} - \frac{t_2^2 - t_1 t_2 - 2t_1^2}{t_2} \right].
\]

Приведя к общему знаменателю и упростив числитель:
\[
X_1 - X_2 = v_{0x} \cdot \frac{2(t_1 + t_2)^2 (t_1 - t_2)}{t_1 t_2}.
\]

Поскольку \(t_1 < t_2\), то \(t_1 - t_2 < 0\) и \(X_1 - X_2 < 0\).
Расстояние между точками падения:
\[
L = |X_1 - X_2| = -(X_1 - X_2) = v_{0x} \cdot \frac{2(t_1 + t_2)^2 (t_2 - t_1)}{t_1 t_2}.
\]

Формула для горизонтальной проекции начальной скорости:
\[
v_{0x} = \frac{L\, t_1 t_2}{2 (t_1 + t_2)^2 (t_2 - t_1)}.
\]
Подставляем числа:
\[
v_{0x} = \frac{16 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot (2 + 3)^2 \cdot (3 - 2)}
= \frac{96}{2 \cdot 25 \cdot 1}
= \frac{96}{50} = 1.92\ \text{м/с}.
\]


Вертикальная проекция начальной скорости:
\[
v_{0y} = \frac{g (t_1 + t_2)}{2} = \frac{10 \cdot 5}{2} = 25\ \text{м/с}.
\]


\[
v_0 = \sqrt{v_{0x}^2 + v_{0y}^2}
= \sqrt{(1.92)^2 + 25^2}
= \sqrt{3.6864 + 625}
= \sqrt{628.6864} \approx 25.07\ \text{м/с}.
\]

Начальное расстояние
\[
S=v_{0x}(t_1+t_2)=1.92\text{ m/s}\cdot 5\text{ s}=9.6\text{ m}.
\]

При вертикальном броске ($\alpha = 90^\circ$) начальная вертикальная скорость $v_{0y}=v_0$.
Из уравнения $v_y^2 = v_{0y}^2 - 2g y$ при $v_y=0$ получаем
\[
0 = v_0^2 - 2g h_{\max} \quad\Longrightarrow\quad h_{\max}= \frac{v_0^2}{2g}.
\]

При нулевой начальной высоте максимальная дальность достигается при $\alpha=45^\circ$:
\[
L_{\max}= \frac{v_0^2 \sin 90^\circ}{g}= \frac{v_0^2}{g}.
\]

Уравнение траектории:
\[
y = x\tan\alpha - \frac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\alpha}.
\]
Максимизируем $y$ при фиксированном $x$ по $\alpha$:
\[
\frac{dy}{d\alpha}=0 \;\Longrightarrow\; \frac{x}{\cos^2\alpha}
- \frac{gx^2}{v_0^2}\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos^3\alpha}=0.
\]
Отсюда
\[
\tan\alpha = \frac{v_0^2}{gx}.
\]
Подставляем в уравнение траектории:
\[
y = \frac{v_0^2}{g} - \frac{gx^2}{2v_0^2}.
\]
Приводим к виду $y=ax^2+bx+c$:
\[
a=-\frac{g}{2v_0^2},\qquad b=0,\qquad c=\frac{v_0^2}{2g}.
\]

Время полета $t$ находится из уравнения
\[
0 = H + v_0\sin\alpha\,t - \frac{gt^2}{2},
\]
откуда положительный корень
\[
t = \frac{v_0\sin\alpha + \sqrt{v_0^2\sin^2\alpha+2gH}}{g}.
\]
Горизонтальная дальность
\[
R(\alpha)=v_0\cos\alpha\,t
= \frac{v_0\cos\alpha\bigl(v_0\sin\alpha+\sqrt{v_0^2\sin^2\alpha+2gH}\bigr)}{g}.
\]
Максимум $R(\alpha)$ по $\alpha$ достигается при
\[
\tan\alpha^* = \frac{v_0}{\sqrt{v_0^2+2gH}}.
\]
Подстановка дает
\[
R_{\max}= \frac{v_0\sqrt{v_0^2+2gH}}{g}.
\]

При упругих отскоках от вертикальных стен применяем метод зеркальных отображений.
Горизонтальное перемещение в развернутой картине за время полета $T$:
\[
\tilde{x}(T)=v_0\cos\alpha\,T
= \frac{v_0\cos\alpha\bigl(v_0\sin\alpha+\sqrt{v_0^2\sin^2\alpha+2gH}\bigr)}{g}.
\]
Максимальное значение $\tilde{x}(T)$ по $\alpha$ совпадает с $R_{\max}$ из C4:
\[
\tilde{x}_{\max}= \frac{v_0\sqrt{v_0^2+2gH}}{g}.
\]
Отскоки происходят, когда в развернутой картине $\tilde{x}=\bigl(k+\frac12\bigr)l$ ($k=0,1,2,\dots$).
Максимальное число отскоков:
\[
N_{\max}= \Bigl\lfloor \frac{\tilde{x}_{\max}}{l}+\frac12\Bigr\rfloor
=\Bigl\lfloor \frac{v_0\sqrt{v_0^2+2gH}}{gl}+\frac12\Bigr\rfloor.
\]

\[
\frac{v_0 \sqrt{v_0^2 + 2gH}}{g l}
= \frac{5 \cdot \sqrt{5^2 + 2\cdot 10\cdot 4}}{10 \cdot 2}
= \frac{5 \cdot \sqrt{25 + 80}}{20}
= \frac{5 \cdot \sqrt{105}}{20}.
\]


\[
\sqrt{105} \approx 10.24695, \quad
\frac{5 \cdot 10.24695}{20} = \frac{51.23475}{20} \approx 2.56174.
\]


\[
N_{\max} = \left\lfloor 2.56174 + \frac12 \right\rfloor
=\left\lfloor 3.06174 \right\rfloor
= 3.
\]