Если поставить два метронома на подвижную платформу и запустить, то через некоторое время они синхронизуются, то есть будут качаться в фазе. Оказывается, что для этого существенны две вещи: автоколебательный характер движения метронома и нелинейность колебаний. В этой задаче Вам предлагается объяснить явление синхронизации.

A. Устройство метронома (1 балл)

Метроном — это прибор, отмечающий короткие промежутки времени равномерными ударами. В нашей модели его основой является математический маятник с длиной $l$ и массой $m$. Чтобы колебания не затухли из-за сопротивления воздуха, нужен механизм подкачки энергии — спусковой механизм. Предположим, что когда маятник проходит положение равновесия, спусковой механизм ударом сообщает момент импульса $ml^2\omega_D$ по направлению движения, и в этот момент мы слышим характерный щелчок. Будем считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости $v$ и равна $f=2\gamma ml v$.

A1  ^1.00 По графику раскачки колебаний метронома найдите с точностью 10%: угловую частоту $\omega$, установившуюся амплитуду $A$, коэффициент затухания $\gamma$ и угловую скорость $\omega_D$ сообщаемую спусковым механизмом при ударе.

B. Нелинейность (1.5 балла)

Для описания синхронизации важно, что уравнения колебаний не являются в точности линейными. В этой части задачи вы познакомитесь с методом Ван дер Поля, позволяющим учесть нелинейность. Например, пусть уравнение колебаний содержит кубическую поправку:
\[
\ddot{x} + 2\gamma \dot{x} + \omega^2 x = \varepsilon x^3.
\]

При $\varepsilon = 0$, $\gamma=0$ решение можно было бы представить в виде
\[
x(t) = \text{Re} \{Ae^{i\omega t}\}=\frac{1}{2}(A e^{i\omega t} + к.с.)
\]
где $A$ – комплексная амплитуда, а $к.с.$ обозначает комплексно сопряженное первое слагаемое. В общем случае $A$ изменяется со временем.

B1  ^0.10 Выразите $\dot{x}(t)$ через $A(t)$.

Заметим, что по сути мы вместо вещественной переменной $x$ ввели комплексную переменную $A$, которая имеет две «степени свободы» вместо одной. Поэтому мы вправе наложить дополнительную связь. Удобной оказывается калибровка при которой выражение для $\dot{x}$ не содержит $\dot{A}$.

B2  ^0.10 Найдите уравнение, отражающее это дополнительное условие.

В дальнейшем считайте, что это условие выполнено.

B3  ^0.20 Выразите $\ddot{x}(t)$ через $A(t)$.

B4  ^0.30 Используя уравнение колебаний, найдите выражение для $\dot{A}$ через $A$, $\gamma$, $\omega$, $\varepsilon$.

Предположим, что затухание и нелинейность малы. В этом случае амплитуда $A$ изменяется очень медленно.

B5  ^0.30 Учитывая это, упростите выражение, полученное в прошлом пункте.

B6  ^0.20 Решите это уравнение и получите $A(t)$ и $x(t)$.

B7  ^0.30 Раскладывая $\sin x$ в ряд Тейлора, найдите первую поправку $\Delta \omega$ к частоте колебаний
\[
\ddot{x} + \omega^2 \sin x = 0
\]
с небольшой амплитудой $A$. Чему равна $\frac{\Delta \omega}{\omega}$ при амплитуде найденной в 1.1?

C. Уравнения движения (6.5 баллов)

Мы готовы к тому, чтобы объяснить явление синхронизации. Уравнения, возникающие здесь, достаточно сложны и следует огрубить их настолько, насколько возможно, при условии что мы не упустим эффект синхронизации. Но начать нужно с точных выражений.

Перейдем к постановке задачи. Два метронома, с массами грузов $m$ и длинами маятника $l$ ставят на платформу, которая покоится на двух легких банках. Масса неподвижной части системы (т.е. всего кроме грузов маятников) равна $M$. Введем обозначения: $\omega$ – собственная частота малых колебаний маятника, $f_k = D_kml$ ($k = 1, \, 2$ – номера метрономов) – сила с которой взаимодействуют спусковой механизм с маятником, $\alpha=\frac{m}{M}$ – коэффициент связи метрономов, $\theta_1$, $\theta_2$ – углы отклонения маятников от вертикали против часовой стрелки, $A_1$, $A_2$ – комплексные амплитуды колебаний маятников, $\psi$ – разность фаз, на которую второй метроном опережает первый. На маятники действует сила сопротивления как в части A. Влиянием скорости платформы при вычислении силы сопротивления можно пренебречь.

С1  ^1.00 Напишите точные уравнения движения, т.е. выразите $\ddot{\theta}_1$, $\ddot{\theta}_2$ через $\theta_1$, $\theta_2$, $\dot{\theta}_1$, $\dot{\theta}_2$, $\omega$, $\gamma$, $\alpha$, $D_1$, $D_2$.

Для простоты в дальнейшем мы предположим, что связь слабая, точнее $\alpha = 10^{-3}$. Считайте, что параметры метрономов равны полученным в пункте A1.

C2  ^0.70 Максимально упростите выражение, полученное в предыдущем пункте, используя численные значения параметров установки. Подробно опишите, чем и почему Вы пренебрегаете. В слагаемом, отвечающим, за связь метрономов друг с другом, оставьте два слагаемых, которые могут быть ответственны за синхронизацию.

Одно из двух слагаемых, упомянутых в пункте C2, описывает толчки, которые передаются через платформу от метронома, который щелкает в данный момент, к другому. Предположим, что именно оно обеспечивает синхронизацию. В следующем пункте пренебрегите другим слагаемым, отвечающим за связь.

C3  ^1.00 Покажите, что разность фаз $\psi$ описывается так называемым уравнением Курамото:
$$
\dot{\psi} = -B_1 \sin \psi.
$$
Выразите $B_1$ через $\omega$, $\gamma$, $\alpha$ и амплитуду $A$ установившихся колебаний, найденную в A1. Найдите численное значение $B_1$.

В следующих трех пунктах наоборот пренебрегите слагаемым, описывающем толчки.

С4  ^0.80 Учитывая, медленность изменения амплитуд, выразите $\dot{A}_1$, $\dot{A}_2$ через $A_1$, $A_2$, $\gamma$, $\omega$, $\alpha$ в момент, когда ни один из метрономов не проходит положения равновесия.

C5  ^1.50 Учитывая численные соотношения между параметрами установки, качественно опишите изменение амплитуд за время значительно большее периода колебаний. Объясните механизм синхронизации.

С6  ^0.80 Покажите, что и в этом случае $\psi$ подчиняется уравнению Курамото:
\[
\dot{\psi} = - B_2 \sin \psi
\]
Выразите $B_2$ через $\omega$, $\gamma$, $\alpha$ и амплитуду $A$ установившихся колебаний, найденную в A1. Найдите численное значение $B_2$.

Мы описываем слабо возмущенное периодическое движение. В этом случае, возмущения отвечающие разным слагаемым просто алгебраически складываются – в силу их малости мы пренебрегаем их взаимным влиянием.

C7  ^0.20 Каким уравнением описывается разность фаз $\psi$, если не отбрасывать ничего в выражении полученном в C2?

Эффект синхронизации можно использовать, чтобы оценить характеристики метрономов. На одной из демонстраций, метрономы запущенные на частоте $f=190$ ударов в минуту, с амплитудой $A=0.35$ рад, синхронизовались за время порядка $T=1$ мин. В этой установке $\alpha = 10^{-2}$, $l=5$ см, масса груза метронома $m=10$ г.

C8  ^0.50 Оцените $\gamma$ и мощность $P$, потребляемую метрономом.

D. Разные частоты (1 балл)

В действительности собственные частоты метрономов всегда отличаются. Предположим, что они равны $\omega_1 = \omega(1+\Delta)$ и
$\omega_2 = \omega(1-\Delta)$. При некоторых значениях $\Delta$ колебания метрономов синхронизуются и вся система колеблется на одной частоте. В этой части считайте параметры установки равными найденным в A1 и $\alpha = 10^{-3}$.

D1  ^0.30 Получите уравнения, как в пункте C2, учитывающие различие частот. Слагаемым, описанным в прошлой части, отвечающим за толчки пренебрегите.

D2  ^0.30 При $\Delta < \Delta_{\text{max}}$ возможен захват частоты. Оцените $\Delta_{\text{max}}$.

D3  ^0.40 Пусть $\Delta \ll \Delta_{\text{max}}$. Какая будет разность фаз между метрономами?