A1  ^0.50 Запишите уравнение на $I$, решениями которого являются точки пересечения кривых (1) и (2).

A2  ^0.50 Найдите наклон $\mathrm{d} U/\mathrm{d}I$ кривой (2) при некотором $I$. Ответ выразите через $A$ и $I$.

A3  ^1.00 Найдите наклон $\mathrm{d} U/\mathrm{d}I$ кривой (1) при некотором $I$. Ответ выразите через $I_0$, $U_0$ и $I$.

A4  ^1.50 При каком значении $A$ возможна ситуация, что кривая (1) гладко переходит в кривую (2), как указано на рисунке выше. Чему равно $I_\mathrm{c}$?

Ответы выразите через $I_0$ и $U_0$.

Должны одновременно выполниться два условия:
\[
\begin{cases}
\frac{A}{I}=4U_0 \frac{I}{I_0} \left( 1-\frac{I}{I_0} \right) \\
\frac{A}{I^2} = 4 \frac{U_0}{I_0} \left(\frac{2I}{I_0} - 1 \right)
\end{cases} \quad \Rightarrow \quad 1 - \frac{I}{I_0} = \frac{2I}{I_0} - 1\]

Значение $A$ можно вычислить, подставив $I_c$ в любое из двух уравнений

B1  ^1.50 Запишите выражение для тока $I$ как функцию $\mathcal{E}$. Ответ выразите через $I_0$, $U_0$.

Значение тока определяется пересечением нагрузочной прямой и ВАХ:
\[\mathcal{E}-\frac{I}{I_0} U_0 = 4 U_0 \frac{I}{I_0} \left( 1 -\frac{I}{I_0} \right).\]Преобразованиями получим квадратное уравнение:
\[4 \left(\frac{I}{I_0}\right)^2- 5 \frac{I}{I_0}+ \frac{\mathcal{E}}{U_0} = 0, \quad \mathcal{D}=25 - 16 \frac{\mathcal{E}}{U_0}\]Решения уравнения:
\[I=I_0 \frac{5 \pm \sqrt{25-16\frac{\mathcal{E}}{U_0}}}{8}\]Нас интересует корень с « - » так как он соответствует пересечению с нижней ветвью параболы

B2  ^2.00 Чему равно $\mathcal{E}_\uparrow$? Ответ выразите через $I_0$ и $U_0$.

Резкому росту тока соответствует точка, когда нагрузочная прямая касается параболы. Этому соответствует $\mathcal{D}=0$ в уравнении, полученном выше.

В теории, важно проверить, что этой точке не соответствует переход на гиперболу. Для этого вычислим ток $I_\uparrow$, который течет в схеме прямо перед резким ростом.

\[I_\uparrow = \frac{5}{8}I_0 < I_\mathrm{c}\]

B3  ^2.00 Чему равно $\mathcal{E}_\downarrow$? Ответ выразите через $I_0$ и $U_0$.

После резкого роста тока поведение системы определяется пересечением нагрузочной прямой с гиперболой:
\[\frac{A}{I}=\mathcal{E}-\frac{I U_0}{I_0}\]Получаем квадратное уравнение
\[\left(\frac{I}{I_0}\right)^2-\frac{\mathcal{E}}{U_0} \frac{I}{I_0} + \frac{A}{U_0 I_0} = 0, \quad \mathcal{D} = \frac{\mathcal{E}^2}{U_0^2}-4\frac{A}{U_0 I_0}.\]Логика нахождения критической точки (когда прямая касается гиперболы «снизу») та же: $\mathcal{D}=0$

Снова проведем проверку, что ток в этой точке больше $I_\mathrm{c}$:
\[I_\downarrow = I_0 \frac{\mathcal{E}_\downarrow}{2U_0} = I_0 \frac{4}{\sqrt{27}} \approx 0.77 I_0 > I_\mathrm{c}\]

B4  ^1.00 Каким должно быть внутреннее сопротивление источника $R_0$, чтобы при постепенном увеличении $\mathcal{E}$, а затем уменьшении, не происходило резких скачков тока?

Метод 1

Резкие переходы происходят из-за того, что у кривой $I$ от $U$ есть участок, где $-\mathrm{d}U/\mathrm{d}I > R_0$, поэтому условие отсутствия резких переходов:

\[ R_0 \geq \frac{A}{I^2_\mathrm{c}} = \frac{4 U_0}{3I_0}\]

Метод 2

Чтобы не происходило резких скачков нужно, чтобы ток $I_\uparrow$ был больше $I_\mathrm{c}$ (или $I_\downarrow$ меньше $I_c$).

Перепишем решение пункта B3 для произвольного резистора $R_0$:
\[\frac{A}{I} = \mathcal{E}-IR_0 \quad \Rightarrow \quad \left(\frac{I}{I_0}\right)^2 \frac{I_0 R_0}{U_0} -\frac{\mathcal{E}}{U_0} \frac{I}{I_0} + \frac{A}{U_0 I_0} = 0, \quad \mathcal{D} = \frac{\mathcal{E}^2}{U_0^2}-4\frac{A R_0}{U_0^2}\]
Отсюда для произвольного $R_0$
\[\mathcal{E}_\downarrow = U_0 \frac{8}{\sqrt{27}} \cdot \sqrt{\frac{R_0 I_0}{U_0}}, \quad I_\downarrow = \frac{\mathcal{E}_\downarrow}{2 R_0}=\frac{4}{\sqrt{27}} \sqrt{\frac{I_0 U_0}{R_0}}\]
Для того, чтобы $I_\downarrow \leq I_\mathrm{c}$ нужно, чтобы
\[\frac{4}{\sqrt{27}} \sqrt{\frac{I_0 U_0}{R_0}} \leq \frac{2}{3}I_0\]