На наклонной плоскости, расположенной под углом $\alpha$ к горизонту, может в присутствие сухого трения скользить материальная точка. Коэффициент трения обозначим за $\mu$. Плоскость закреплена, а точка движется так, что никогда от нее не отрывается.

В любой момент времени разложим вектор скорости $\vec{v}$ материальной точки на две перпендикулярные составляющие: $v_x\vec{e}_x$ — горизонтальную скорость и $v_y\vec{e}_y$ — скорость наискорейшего спуска. Здесь $\vec{e}_x,~\vec{e}_y$ — единичные векторы в горизонтальном направлении и направлении наискорейшего спуска соответственно. То есть \[\vec{v} = v_x\vec{e}_x + v_y\vec{e}_y,~~~v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}.\]

Оказывается, что для описанном движении существует нетривиальная сохраняющая во времени величина $I$, составленная из компонент скоростей. С точностью до неизвестных положительных постоянных $A,~a,~B,~b$ эта величина имеет вид
\[I= v_x^{a} \left(1 + A\left(\frac{v_y}{v_x}\right)^{b} + B \frac{v_y}{v_x}\sqrt{1 + \left(\frac{v_y}{v_x}\right)^2}\right) = \mathrm{const}.\]

Более того, величины $A,~B,~b$ одинаковы для любых значений $\mu,~\alpha$, а величина $a$ — функция этих двух переменных: \[a = a(\mu,~\alpha).\]

A1  ^1.00 Объясните, почему $a$ на самом деле является функцией одной переменной $\gamma = \frac{\mu}{\mathrm{tg}(\alpha)}.$

Будем искать функцию $a(\gamma)$ в виде \[a(\gamma) = C\cdot\gamma^{\beta}\] для некоторых постоянных вещественных величин $C,~\beta$.

A2  ^2.00 Опираясь на качественные объяснения и теоретические выкладки, определите единственное значение $\gamma$, при котором одна из конечных скоростей $v_x$ или $v_y$ в установившемся режиме постоянная, ненулевая и конечная.

A3  ^3.00 Опираясь на данную программу, обработку полученных результатов и/или теоретические выкладки, восстановите функциональную зависимость $a(\gamma)$.

A4  ^4.00 Опираясь на данную программу, обработку полученных результатов и/или теоретические выкладки восстановите значения постоянных $A,~B,~b$.

Мануал по работе с программой. Введите значение коэффициента трения, затем угла наклона плоскости в градусах. Далее $v_x = u$, $v_y = w$. Введите значения начальных условий $u_0, w_0$, а затем вы получите табличку значений $u, w$.