| A1. 2 Получен ответ$$\dot{v}_x=\frac{F_x}{m}.$$ | 0.10 |
|
|
A2. 1
Верно записан закон изменения момента импульса $$I_{O}\dot{\omega}=\frac{mL^2\dot{\omega}}{3}=NL\sin\varphi-F_xL\cos\varphi
.$$ |
0.20 |
|
|
A2. 2
Получен ответ $$\dot{\omega}=\frac{3}{mL}\left(N\sin\varphi-F_x\cos\varphi\right).
$$ |
0.20 |
|
|
A3. 1
Из теоремы о сложении скоростей получен ответ $$v_{A_x}=v_x-\omega L\cos\varphi.
$$ |
0.10 |
|
| A4. 1 Использована идея доказательства от противного. | 0.10 |
|
| A4. 2 В предположении от противного получено выражение для скорости нижнего конца стержня $$v_{A_x}=v_x\left(1+\frac{3\cos\varphi}{\mu}\left(\sin\varphi+\mu\cos\varphi\right)\right).$$ | 0.20 |
|
| A4. 3 Сделан вывод о невозможности такого предположения. | 0.10 |
|
| A5. 1 Получен ответ $$v_{A_x}=v_x\left(1-\frac{3\cos\varphi}{\mu}\left(\sin\varphi-\mu\cos\varphi\right)\right).$$ | 0.10 |
|
|
A6. 1
M1
После преобразований получено выражение
$$v_{A_x}=-\frac{v_x}{2\mu}\left(3\sin2\varphi-3\mu\cos2\varphi-5\mu\right) $$ или аналогичное ему. |
0.20 |
|
|
A6. 2
M1
Получено неравенство
$$\frac{5\mu}{3\sqrt{1+\mu^2}}\leq{1},$$ накладывающее ограничения на $\mu$, или аналогичное ему. |
0.20 |
|
|
A6. 3
M1
Получен ответ
$$\mu_0=\frac{3}{4}.$$ |
0.20 |
|
| A6. 4 M2 Получено выражение для $\mu$ при наличии проскальзывания $$\mu=\frac{3\cos{\varphi}\sin{\varphi}}{1+3\cos^2{\varphi}}.$$ | 0.20 |
|
| A6. 5 M2 Найдена точка экстремума этого выражения$$\varphi=\arctan{(2)}.$$ | 0.20 |
|
| A6. 6 M2 Получен ответ $\mu_0=\frac{3}{4}.$ | 0.20 |
|
|
A7. 1
M1
Получено неравенство $$\arcsin\frac{5\mu}{3\sqrt{1+\mu^2}}\leq{2\varphi-\varphi_0}$$
или аналогичное этому |
0.30 |
|
|
A7. 2
M1
Получено неравенство $${2\varphi-\varphi_0}\leq{\pi-\arcsin\frac{5\mu}{3\sqrt{1+\mu^2}}}$$
или аналогичное этому. |
0.30 |
|
| A7. 3 M1 Сделаны преобразования и получено двойное неравенство $$\frac{\arcsin\frac{5\mu}{3\sqrt{1+\mu^2}}+\arctan\mu}{2}\leq{\varphi}\leq{\frac{\pi-\arcsin\frac{5\mu}{3\sqrt{1+\mu^2}}+\arctan\mu}{2}}.$$ | 0.20 |
|
| A7. 4 M2 Получено уравнение на $\mu$ при наличии проскальзывания $$\mu=\frac{3\cos{\varphi}\sin{\varphi}}{1+3\cos^2{\varphi}}.$$ | 0.20 |
|
| A7. 5 M2 Уравнение решено, получены корни $$\varphi_1=\arctan{\frac{3-\sqrt{9-16\mu^2}}{2\mu}},\ \varphi_2=\arctan{\frac{3+\sqrt{9-16\mu^2}}{2\mu}}.$$ | 0.40 |
|
| A7. 6 M2 Записан ответ $$\arctan{\frac{3-\sqrt{9-16\mu^2}}{2\mu}} \leq \varphi \leq \arctan{\frac{3+\sqrt{9-16\mu^2}}{2\mu}}.$$ | 0.20 |
|
| B1. 1 Из того, что скорость точки $A$ вертикальна, получен ответ $$v_x=\omega L\cos\varphi.$$ | 0.20 |
|
| B2. 1 Записан закон сохранения момента импульса$$mLv_0\sin\varphi=mLv_y\sin\varphi+mLv_x\cos\varphi+\frac{mL^2\omega}{3}.$$ | 0.40 |
|
| B2. 2 Получен ответ$$v_y=v_0-\frac{\omega L(1+3\cos^2\varphi)}{3\sin\varphi}.$$ | 0.20 |
|
|
B3. 1
M1
Энергия деформации поверхности $E_N$ записана как
$$E_N=\int Nv_{Ay}dt. $$ |
0.10 |
|
|
B3. 2
M1
Получено выражение для $N$ из теоремы о движении центра масс, используя $\dot{v}_y$ $$N=-m\dot{v}_y=\frac{m\dot{\omega}L(1+3\cos^2\varphi)}{3\sin\varphi}.
$$ |
0.15 |
|
|
B3. 3
M1
Получено выражение $$E_N(\omega)=\int\limits_0^{\omega}\frac{m(1+3\cos^2\varphi)}{3\sin\varphi}\left(v_0-\frac{4\omega L}{3\sin\varphi}\right)L\dot{\omega}dt=\\ =\frac{m(1+3\cos^2\varphi)}{3\sin\varphi}\left(v_0 \omega L-\frac{2\omega^2L^2}{3\sin\varphi}\right).
$$ |
0.25 |
|
| B3. 4 M1 Сделан вывод о том, что максимальное значение $W$ достигается при $v_{A_y}=0$. | 0.10 |
|
|
B3. 5
M1
Получено выражение для $W$
$$W=\frac{mv^2_0(1+3\cos^2\varphi)}{8}. $$ |
0.20 |
|
| B3. 6 M2 Сделан вывод о том, что максимальное значение $W$ достигается при $v_{A_y}=0$. | 0.10 |
|
|
B3. 7
M2
Записан закон сохранения момента импульса $$mv_0L\sin\varphi=\frac{4mL^2\omega}{3}.
$$ |
0.20 |
|
|
B3. 8
M2
Получено $\omega$ $$\omega=\frac{3v_0\sin\varphi}{4}.
$$ |
0.15 |
|
|
B3. 9
M2
Записан закон сохранения энергии $$\frac{mv^2_0}{2}=\frac{2mL^2\omega^2}{3}+W.
$$ |
0.15 |
|
|
B3. 10
M2
Получено выражение для $W$
$$W=\frac{mv^2_0(1+3\cos^2\varphi)}{8}. $$ |
0.20 |
|
| B4. 1 Записано выражение для остаточной энергии деформации в конце удара$$E_N=E_{\text{деф}}=W(1-k)=\frac{mv^2_0(1+3\cos^2\varphi)(1-k)}{8}.$$ | 0.10 |
|
|
B4. 2
Получено квадратное уравнение на $\omega$ в виде $$\omega^2L^2-\frac{3v_0\omega L\sin\varphi}{2}+\frac{9v^2_0\sin^2\varphi(1-k)}{16}=0
$$или аналогичном ему. |
0.40 |
|
|
B4. 3
Получены корни уравнения$$\omega=\frac{3v_0\sin\varphi(1\pm{\sqrt{k}})}{4L}
.$$ |
0.50 |
|
|
B4. 4
Выбран больший из корней; получен ответ $$\omega_{\text{к}}=\frac{3v_0\sin\varphi(1+\sqrt{k})}{4L}
.$$ |
0.20 |
|
| B5. 1 Записано уравнение$$v_{Ay}=v_0-\frac{4\omega_{\text{к}}L}{3\sin\varphi}.$$ | 0.20 |
|
| B5. 2 Получен ответ $$v_{A\text{к}}=v_0\sqrt{k}.$$ | 0.10 |
|
|
B6. 1
Получен ответ$$L_{AC}=L\frac{4\sqrt{k}}{3(1+\sqrt{k})}.
$$ |
0.40 |
|
|
C1. 1
Получено выражение для $\omega$ в виде
$$\omega=\frac{3v_x}{\mu L}\left(\sin\varphi-\mu\cos\varphi\right).$$ |
0.20 |
|
|
C1. 2
Получено выражение для $v_y$ в виде
$$v_y=v_0-\frac{v_x}{\mu}. $$ |
0.20 |
|
| C2. 1 Для $v_{Ay}$ получено выражение$$v_{Ay}=v_0-\frac{v_x}{\mu}-\frac{3v_x\sin\varphi}{\mu}\left(\sin\varphi-\mu\cos\varphi\right).$$ | 0.15 |
|
|
C2. 2
Энергия деформации $E_N$ записана как $$E_N=\int Nv_{Ay}dt.
$$ |
0.20 |
|
|
C2. 3
Для $E_N$ получение выражение$$E_N=\frac{m}{\mu^2}\left(\mu v_0v_x-\frac{v^2_x(1+3\sin\varphi(\sin\varphi-\mu\cos\varphi)}{2}\right).
$$ |
0.50 |
|
| C2. 4 Получено условие максимума $W$ в виде $v_{A_y}=0$ и значение $$v_x=\frac{\mu v_0}{1+3\sin\varphi(\sin\varphi-\mu\cos\varphi)}$$при этом. | 0.15 |
|
|
C2. 5
Для $W$ получено выражение
$$W=\frac{mv^2_0}{2(1+3\sin\varphi(\sin\varphi-\mu\cos\varphi))}. $$ |
0.20 |
|
|
C3. 1
Записано выражение для остаточной энергии деформации в конце удара $$E_N=E_{\text{деф}}=W(1-k)=\frac{mv^2_0(1-k)}{2(1+3\sin\varphi(\sin\varphi-\mu\cos\varphi))}.
$$ |
0.15 |
|
|
C3. 2
Получено квадратное уравнение на $v_{x}$ в виде
$$v^2_x-\frac{2\mu v_0v_x}{1+3\sin\varphi(\sin\varphi-\mu\cos\varphi)}+\frac{\mu^2v^2_0(1-k)}{(1+3\sin\varphi(\sin\varphi-\mu\cos\varphi))^2}=0 $$ или аналогичном ему. |
0.45 |
|
|
C3. 3
Получены корни уравнения
$$v_x=\frac{\mu v_0(1\pm{\sqrt{k}})}{(1+3\sin\varphi(\sin\varphi-\mu\cos\varphi))}. $$ |
0.55 |
|
|
C3. 4
Выбран больший из корней; получен ответ
$$v_{x\text{к}}=\frac{\mu v_0(1+\sqrt{k})}{(1+3\sin\varphi(\sin\varphi-\mu\cos\varphi))}. $$ |
0.25 |
|
| C4. 1 Работа силы трения записана в виде $$A_{\text{тр}}=\int F_x v_{Ax}dt.$$ | 0.20 |
|
| C4. 2 В результате интегрирования получено выражение для $A_{\text{тр}}$ через $v_x$ в виде$$A_{\text{тр}}=\frac{mv^2_x}{2}\left(1-\frac{3\cos\varphi}{\mu}\left(\sin\varphi-\mu\cos\varphi\right)\right).$$ | 0.50 |
|
| C4. 3 Получен ответ $$A_{\text{тр}}=\frac{\mu mv^2_0(1+\sqrt{k})^2(\mu-3\cos\varphi(\sin\varphi-\mu\cos\varphi))}{2(1+3\sin\varphi(\sin\varphi-\mu\cos\varphi))^2}.$$ | 0.30 |
|