Эта задача предназначена для изучения основных электростатических моментиев 10классниками.

В начале должна быть микролекция на тему что такое электростатика, что такое поле, принцип суперпозиции и выражение для поля точечного заряда

Поле точечного заряда

Заряд \( q > 0 \) равномерно распределен по тонкому кольцу радиусом \( a \).

A1 Найдите напряженность \( \vec{E} \) электрического поля на оси кольца как функцию
расстояния \( z \) от его центра.

Тонкая прямая нить длиной \( 2l \) заряжена равномерно зарядом \( q \).

A2 Найдите напряженность \( \vec E \) поля в точке, отстоящей на расстоянии \( x \) от центра нити и расположенной симметрично относительно ее концов. (несимметричный случай в семинар)

Потенциал

Рассмотрим взаимодействие двух точечных зарядов $q_1$ и $q_2$. Введем радиус-вектор $\vec r_{12}$, начинающийся на первом заряде и заканчивающийся на втором.

B1 Определите силу $\vec F_{12}$, действующую на второй заряд со стороны первого и аналогичную силу $\vec F_{21}$. Ответы выразите через $q_1$, $q_2$, $\varepsilon_0$, $\vec r$.

Теперь заряды очень медленно смещают так, что радиус-вектор из точки 1 в точку 2 меняется на очень малую величину $\mathrm d\vec r$.

B2 Какая работа $\mathrm dA$ была совершена над системой в процессе такого перемещения? Ответ выразите через $q_1$, $q_2$, $\varepsilon_0$, $ r$, $\mathrm dr$.

Примечание. Учтите, что заряды не обязаны смещаться друг относительно друга вдоль прямой, соединяющей их

Подсказка: докажите и используйте равенство для любого вектора $\vec x$:

\[(\vec x,\mathrm d\vec x)=x\mathrm dx\]

B3 Какую работу $A$ необходимо совершить, чтобы изменить расстояние между зарядами от $r_1$ до $r_2$, перемещая заряды бесконечно медленно? Ответ выразите через $q_1$, $q_2$, $\varepsilon_0$, $ r_1$, $r_2$.

Обратите внимание, что ответ не зависит от траектории зарядов. Электрическое поле, действующее на произвольный заряд – суперпозиция полей точечных зарядов. Тогда работа электрического поля над пробным зарядом при перемещении из точки 1 в точку 2 все еще не зависит от траектории. Получается, элетриче

Поток вектора напряженности электрического поля и теорема Гаусса

Далее вам потребуется определение линий электрического поля.

Линиями электрического поля (силовыми линиями) называются воображаемые кривые, проведенные в пространстве так, что касательная к ним в каждой точке совпадает по направлению с вектором напряженности электрического поля \( \vec{E} \) в этой же точке.

Свойства линий электрического поля:

• Линии \( \vec{E} \) проводятся с такой густотой, чтобы количество линий, пронизывающих единичную площадку, перпендикулярную линиям, было пропорционально модулю вектора \( \vec{E} \) (или равно ему, если выбрать соответствующий масштаб).
     
• Линии \( \vec{E} \) начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных (или уходят в бесконечность).
    
•  Линии \( \vec{E} \) нигде не пересекаются (кроме особых точек, где \( \vec{E} = 0 \)), так как в каждой точке пространства вектор \( \vec{E} \) имеет единственное направление.
     
• Густота линий характеризует величину напряженности поля: чем гуще линии, тем больше \( |\vec{E}| \).
  
  

Таким образом, картина силовых линий дает наглядное геометрическое представление о структуре электрического поля в пространстве.

Для большей наглядности воспользуемся геометрической картиной описания электрического поля (с помощью линий вектора $\vec{E}$) и еще, для упрощения рассуждений, будем считать, что густота линий $\vec{E}$ равна модулю вектора $\vec{E}$. Тогда число линий, пронизывающих элементарную площадку \( dS \), нормаль $\vec{n}$ которой составляет угол \( \alpha \) с вектором $\vec{E}$, определяется согласно рис. 1.3 как \( E \, dS \cos \alpha \). Эта величина и есть поток \( d\Phi \) вектора $\vec{E}$ сквозь площадку \( dS \). В более компактной форме
\[
d\Phi = E_n \, dS = \vec{E} \, d\vec{S},
\]
Если имеется некоторая произвольная поверхность \( S \), то поток вектора $\vec{E} $ сквозь нее
\[
\Phi = \int_S \vec{E} \, d\vec{S}. \tag{1.6}
\]

Эта величина алгебраическая: она зависит не только от конфигурации поля $\vec{E}$, но и от выбора направления нормали. В случае замкнутых поверхностей принято нормаль $\vec{n}$ брать наружу от области, охватываемой этими поверхностями, т. е. выбирать внешнюю нормаль, что в дальнейшем будет всегда и подразумеваться.

Хотя здесь речь шла о потоке вектора $\vec{E}$, понятие потока в равной степени относится к любому векторному полю, например, полю тяжести.

Перейдем к формулировке и доказательству теоремы Гаусса. Рассмотрим один точечный заряд $q$, находящийся внутри произвольной замкнутой поверхности. Также рассмотрим малый элемент площади $\mathrm dS$, находящийся на этой поверхности. Расстояние от элемента площади до точечного заряда равно $r$, угол между радиус-вектором от точечного заряда к элементу площади и нормалью к этой площади равен $\alpha$.

B1 Определите поток $\mathrm d\Phi$ вектора $\vec E$ через выбранный элемент площади. Ответ выразите через $\varepsilon_0$, $r$, $q$, $\alpha$, $\mathrm dS$.

Телесный угол – это часть пространства, представляющая собой объединение всех лучей, выходящих из одной точки (вершины) и проходящих через замкнутый контур. Он характеризует меру видимости поверхности из точки наблюдения и измеряется отношением площади $\mathrm dS_{сф}$ вырезанного участка сферы к квадрату радиуса этой сферы $r^2$.

B2 Выразите телесный угол $\mathrm d\Omega$, под которым виден выбранный участок $\mathrm dS$ из точки нахождения заряда, через $\mathrm dS$, $r$, $\alpha$.

Пусть теперь заряд $q'$ находится за пределами замкнутого объема.

B3 Определите полный поток $\Phi'$ электрического поля этого заряда через выбраную поверхность.

Перейдем к формулировке теоремы Гаусса. Из принципа суперпозиции электрического поля, поток суммарного электрического поля можно выразить суммой потоков электрического поля отдельных точечных зарядов.

B4 Определите суммарный поток $\Phi$ напряженности электрического поля через выбранную замкнутую поверхность. В ответ могут входить суммарный заряд $q_{in}$, находящийся внутри поверхности, $\varepsilon_0$.

Важные следствия теоремы Гаусса

Рассмотрим бесконечную равномерно заряженную плоскость с поверхностной плотностью заряда $\sigma$.

C1 Определите напряженность $E$ электрического поля в точке, находящейся на расстоянии $h$ от плоскости. Ответ выразите через $\sigma$, $\varepsilon_0$, $h$.

Теперь рассмотрим равномерно заряженный шар с объемной плотностью заряда $\rho$.

C2 Определите напряженность $E(r)$ электрического поля в зависимости от расстояния $r$ до центра шара. Также определите потенциал $\varphi(r)$ поля шара, приняв потенциал на бесконечном удалении от шара нулевым. Ответы выразите через $\rho$, $r$, $\varepsilon_0$ и радиус шара $R$. Постройте графики соответствующих зависимостей.

Проводники и метод изображений