Часть A. Дельтоид с пружиной (7.0 баллов)

Дельтоид — четырехугольник, у которого по две смежные стороны равны (в отличие от параллелограмма, у которого равны противоположные стороны). Эта фигура обладает рядом интересных свойств: например, диагонали дельтоида перпендикулярны. Рассмотрим шарнирную систему в форме дельтоида: четыре легких стержня (два длиной $a$ и еще два длиной $b < a$) образуют дельтоид, который может двигаться в вертикальной плоскости. Одна из его диагоналей вертикальна, а другая – горизонтальна (см. рисунок). При этом шарнир, соединяющий стержни длиной $a$, закреплен, а к противоположному шарниру прикладывается сила или подвешивает груз. К шарнирам горизонтального диаметра прикреплена пружина, длина которой в нерастянутом состоянии $l_0 < 2b$, а коэффициент жесткости равен $k$.

Исследуем, как длина вертикальной диагонали $y$ зависит от прикладываемой к системе силы $F$. Будем считать, что $F>0$, если прикладываемая сила направлена вниз, и $F<0$ в ином случае.

A1  ^0.20 В каком диапазоне может изменяться $y$?

A2  ^0.50 Определите, какие значения может принимать $y$ при $F=0$. Какие из них соответствуют устойчивым положениям системы?

A3  ^0.50 Нарисуйте качественный график зависимости потенциальной энергии системы $U(y)$, укажите характерные значения.

A4  ^0.30 При каких значениях $y$ выполняется $F>0$?

Рассмотрим процесс, который совершают с этой системой: вначале $F$ плавно увеличивают от $-\infty$ до $+\infty$, потом плавно уменьшают назад до $-\infty$.

A5  ^1.00 Нарисуйте качественный график $F(y)$ в этом процессе.

Перейдём к численному анализу зависимости $F(y)$. Рассмотрим случай $l_0 = b$, $a = 2b$. Обозначим $\gamma = y/b$, $f = F/(kb)$.

A6  ^1.50 Получите зависимость $f(\gamma)$.

A7  ^1.00 Заполните таблицу значений для зависимости $f(\gamma)$.

A8  ^0.50 Постройте график зависимости $f(\gamma)$. Загрузите скриншот этого графика.

A9  ^1.00 При каких значениях $\gamma$ система может находиться в устойчивом равновесии?

A10  ^0.50 Нарисуйте качественный график, как зависит $y$ для системы в устойчивом положении равновесии от силы $F$ в случае $l_0\ll b$.

Часть B. Это реально? (3.0 баллов)

Рассматриваемая в прошлой части система имеет интересное свойство: у неё есть два режима работы (большие длины и малые длины), между которыми она резко переходит при приложении достаточно большой силы. С помощью такого механизма можно создавать множество различных систем с возможностью резкого переключения между различными режимами работы. Порой работа таких систем может выглядеть парадоксально.

Рассмотрим систему, показанную на рисунке ниже. Она состоит из двух одинаковых пружин (1-2 и 5-6) с жёсткостью $k$ и начальной длиной $l_0$, двух длинных нитей (1-5 и 2-6) длиной $31l_0/10$, двух коротких нитей (2-3 и 4-5) длиной $l_0/2$ и секретного элемента $\mathfrak X$.

$\mathfrak X$ может находить в двух различных режимах работы: изначально его длина равна нулю и сохраняется, пока сила натяжения элемента не достигнет $F_0 = kl_0$, после чего он резко растягивается до длины $l_\text{max} = l_0$ и сохраняет эту длину независимо от прикладываемой растягивающей силы. (График зависимости длины $\mathfrak X$ от его силы натяжения $T$ показан ниже.)

Систему растягивают, плавно увеличивая силу $F$ от $0$ до $10 F_0$, а потом плавно уменьшают силу до $0$.

B1  ^2.50 Заполните таблицу значений, соответствующих зависимости длины системы в единицах $l_0$ (то есть $L_\text{системы}/l_0$) от прикладываемой силы в единицах $F_0$ (то есть $F/F_0$).

B2  ^0.50

Постройте график зависимости из пункта B1. Загрузите скриншот этого графика. График должен выглядеть как ломаная (т.е. нужно при создании графика выбрать указанный на картинке тип).