| 1 Верно записан второй закон Ньютона в векторном виде или в проекции на горизонтальную ось для любого из шариков: \[ m\vec{a}_1 = m\vec{g} - k(\vec{v}_1-\vec{u}) \quad \textrm{или} \quad ma_{1x} = - k(v_{1x}+u). \] Примечание. Если второй закон Ньютона записан несколько раз в разных формах, оценивается та, которая дальше используется в решении. | 0.50 |
|
|
2
M1
Получено уравнение на относительное ускорение или уравнения, записанные для каждого из шариков, вычитаются друг из друга \[ m\vec{a}_r = -k\vec{v}_r. \] |
0.50 |
|
|
3
M1
Осуществлён переход к конечным приращениям, например получено соотношение \[ \Delta \vec{v}_r = -\frac{k}{m} \Delta \vec{l}, \] где $\Delta \vec{v}_r$ и $\Delta \vec{l}$ не являются бесконечно малыми. |
0.50 |
|
| 4 M1 Приращения, связь которых получена в прошлом пункте, посчитаны верно. | 0.50 |
|
|
5
M2
В явном виде получена зависимость $v_{x}(t)$ для любого из шариков, например \[ v_{1x}(t) = (v_{10} \cos\alpha_1+u)e^{-\frac{k}{m}t}-u. \] |
0.50 |
|
|
6
M2
В явном виде получена зависимость $x(t)$ для любого из шариков, например \[ x_1 (t) = \frac{m}{k} (v_{10} \cos\alpha_1+u)(1-e^{-\frac{k}{m}t})-ut. \] |
0.50 |
|
| 7 M2 Указано или явно используется, что $x_1(\infty) = x_2(\infty)$. | 0.50 |
|
| 8 M3 Явно прописано рассуждение о том, что одинаковые по структуре уравнения движения приводят к одинаковым по структуре зависимостям $x_1(t)$ и $x_2(t)$. | 0.50 |
|
| 9 M3 Для обоснования полного совпадения функций $x_1(t)$ и $x_2(t)$ используются условия $x_1(0)=x_2(0)=0$. | 0.50 |
|
| 10 M3 Для обоснования полного совпадения функций $x_1(t)$ и $x_2(t)$ используется условие $x_1(\infty)=x_2(\infty)$. | 0.50 |
|
| 11 Получено, что проекции начальных скоростей на горизонтальную ось совпадают, $v_{20} \cos\alpha_2 = v_{10} \cos\alpha_1$. | 0.50 |
|
| 12 Получен ответ $v_{20}\approx 12{,}3\ \textrm{м/с}$. | 0.50 |
|
|
1
Верно записан второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось для любого из шариков, например \[ m\frac{dv_{1y}}{dt} = -mg-kv_{1y}. \] |
0.50 |
|
|
2
M1
Получено, что соотношение (или то же для второго шарика) \[ \Delta v_{1y}=-g\Delta t-\frac{k}{m} \Delta y_1 \] верно не только для малых приращений. |
0.50 |
|
| 3 M1 Указано или явно используется, что вертикальная проекция установившейся скорости есть $-mg/k$. | 0.50 |
|
|
4
M1
Получено, что \[ v_{20}\sin\alpha_2-v_{10}\sin\alpha_1=\frac{k}{m} L. \] |
1.00 |
|
|
5
M1
Получено выражение \[ -\frac{mg}{k}-v_{10}\sin\alpha_1 =-g\tau+\frac{k}{m}H \] или аналогичное, например \[ H = \frac{mg}{k}\tau-\frac{m^2g}{k^2}-\frac{m}{k}v_{10}\sin\alpha_1. \] |
1.00 |
|
|
6
M2
В явном виде получена зависимость $v_{y}(t)$ для любого из шариков, например \[ v_{1y}(t) = \left( v_{10} \sin\alpha_1+\frac{mg}{k} \right)e^{-\frac{k}{m}t}-\frac{mg}{k}. \] |
0.50 |
|
|
7
M2
В явном виде получена зависимость $y(t)$ для любого из шариков, например \[ y_1 (t) = \frac{m}{k} \left( v_{10} \sin\alpha_1+\frac{mg}{k} \right)(1-e^{-\frac{k}{m}t})-\frac{mg}{k}t. \] |
0.50 |
|
| 8 M2 Указано или явно используется, что $y_2(\infty)-y_1(\infty) = L$. | 1.00 |
|
|
9
M2
Получено, что \[ \frac{m}{k}(v_{20}\sin\alpha_2-v_{10}\sin\alpha_1)=L. \] |
1.00 |
|
| 10 Получен ответ $H \approx 30{,}8\ \textrm{м}$. | 0.50 |
|
| 1 Указано или явно используется, что при всех $t<\tau$ справедливо $x_1(t) = x_2(t)$. | 0.50 |
|
| 2 Обосновано, что при всех $t<\tau$ справедливо $x_1(t) = x_2(t)$. | 0.50 |
|
| 3 Указано, что $y_1(t_1) = -y_2(t_1)$, где $t_1$ — момент пересечения шариками вертикальной оси. | 0.50 |
|
| 4 M1 Указано или используется, что установившаяся скорость каждого шарика $\vec{v}_f = \vec{u}+m\vec{g}/k$. | 0.50 |
|
| 5 M1 Осуществлён переход в систему отсчёта, двигающуюся со скоростью $\vec{v}_f$. | 0.50 |
|
| 6 M1 Указано или используется, что в данной системе отсчёта движение шариков прямолинейно. | 0.50 |
|
| 7 M1 Получено, что $\left( \vec{v}_1+\vec{v}_2 \right) \ || \ \left( \vec{u}+\frac{m\vec{g}}{k} \right)$ или некоторое векторное равенство (векторный треугольник), позволяющее получить связь между проекциями начальных скоростей и проекциями $\vec{v}_f$. | 0.50 |
|
|
8
M1
Получено выражение \[ \frac{v_{10}\cos\alpha_1+v_{20}\cos\alpha_2}{v_{10}\sin\alpha_1+v_{20}\sin\alpha_2}=\frac{u}{mg/k} \quad \Leftrightarrow \quad u = \frac{m}{k}\frac{2g}{\operatorname{tg}\alpha_1+\operatorname{tg}\alpha_2} \] или аналогичное, например пара \[ \frac{v_{10}\sin\alpha_1+\frac{mg}{k}}{v_{10}\cos\alpha_1+u}=\frac{\frac{mg}{k}t_1-h}{ut_1} \quad \textrm{и} \quad \frac{v_{20}\sin\alpha_2+\frac{mg}{k}}{v_{20}\cos\alpha_2+u}=\frac{\frac{mg}{k}t_1+h}{ut_1} \] |
1.00 |
|
|
9
M2
Записано выражение \[ 0 = \frac{m}{k} (v_{10} \cos\alpha_1+u)(1-e^{-\frac{k}{m}t_1})-ut_1. \] |
0.50 |
|
|
10
M2
Записано выражение \begin{gather} \frac{m}{k} \left( v_{10} \sin\alpha_1+\frac{mg}{k} \right)(1-e^{-\frac{k}{m}t_1})-\frac{mg}{k}t_1 = \\ = -\frac{m}{k} \left( v_{20} \sin\alpha_2+\frac{mg}{k} \right)(1-e^{-\frac{k}{m}t_1})+\frac{mg}{k}t_1 \end{gather} или аналогичное. |
1.00 |
|
|
11
M2
Полученная система решена относительно $u$. Примечание. Пункт не оценивается, если не поставлены баллы за предыдущие два пункта. |
1.50 |
|
| 12 Получен ответ $u \approx 11\ \textrm{м/c}$. | 0.50 |
|