| Качественное рассмотрение поведения бруска при доливании воды в сосуд. | ||
| 2 С помощью условия плавания тел показано, что при плавании бруска он погружен в жидкость наполовину. | 0.30 |
|
| 3 Объяснено, почему плавание бруска в положении, когда верхняя грань горизонтальна, будет неустойчивым. | 0.50 |
|
| 4 Указано (без объяснения), что плавание бруска в положении, когда верхняя грань горизонтальна, будет неустойчивым. | 0.30 |
|
| 5 Не указано, что данное положение равновесия бруска будет неустойчивым. | 0.00 |
|
| 6 Отмечено, что при повышении уровня воды брусок будет наклоняться, опираясь ребром на дно, либо сразу рассматривается плавание бруска в наклонном положении (при достаточно высоком уровне воды). | 0.40 |
|
| 7 Сделан правильный рисунок, соответствующий плаванию бруска в наклонном положении (линия воды должна проходить через центр масс бруска, отмеченный на рисунке). | 0.70 |
|
| 8 Указано (нарисовано), что сила тяжести приложена к центру масс бруска. | 0.10 |
|
|
M1
Рассмотрение случая плавания бруска в наклонном положении. Нахождение точек приложения и модулей сил Архимеда при разбиении погруженной части бруска на два (или более чем два) элемента. Примечание. Данный метод эквивалентен методу, при котором находятся центры масс выделенных элементов, а затем вычисляется положение центра масс погруженной части бруска. При этом для каждого такого элемента положение центра масс соответствует точке приложения силы Архимеда; масса элемента пропорциональна модулю действующей на него силы Архимеда; плечи силы тяжести и силы Архимеда совпадают. |
||
|
10
M1
Осуществлено разбиение погруженной части бруска на два элемента (например — треугольная призма и прямоугольный параллелепипед), для каждого из которых удобно искать точку приложения и модуль силы Архимеда. Примечание. Можно осуществлять разбиения и другими способами. Можно разбивать погруженную часть бруска на более чем два элемента. |
0.10 |
|
|
11
M1
Для первого выделенного элемента (призма) правильно определена точка приложения силы Архимеда (явно указано, что она приложена к геометрическому центру элемента). Примечание. Если погруженная часть бруска разбита на $N > 2$ элементов, балл за данный пункт ставится только в случае, если точки приложения сил Архимеда правильно определены для $N-1$ элементов (т.е. сделано не более одной ошибки). |
0.20 |
|
|
12
M1
Для второго выделенного элемента (параллелепипед) правильно определена точка приложения силы Архимеда (явно указано, что она приложена к геометрическому центру элемента). Примечание. Если погруженная часть бруска разбита на $N > 2$ элементов, балл за данный пункт ставится только в случае, если точки приложения сил Архимеда правильно определены для всех $N$ элементов (т.е. не сделано ни одной ошибки). |
0.20 |
|
|
13
M1
Правильно найден модуль силы Архимеда, действующей на первый элемент (призму) — явно выражен через $a$ (или $b$) и параметр $\alpha$ или записаны все выражения, позволяющие его выразить через указанные величины: $$F_1=\rho_вgL\cdot \frac{1}{2} a\cdot a\operatorname{tg}\alpha=\frac{1}{2} \rho_вg a^2L\operatorname{tg}\alpha.$$ Примечание 1. Вместо $\alpha$ может использоваться любой другой параметр, однозначно определяющий положение плавающего бруска. Примечание 2. Если погруженная часть бруска разбита на $N > 2$ элементов, балл за данный пункт ставится только в случае, если модули сил Архимеда правильно определены для $N-1$ элементов (т.е. сделано не более одной ошибки). Примечание 3. Если задача решалась путем вычисления модулей сил гидростатического давления, действующих на погруженные поверхности бруска, то данный балл ставится при условии, что все указанные силы найдены правильно. |
1.50 |
|
|
14
M1
Правильно найден модуль силы Архимеда, действующей на второй элемент (параллелепипед) — явно выражен через $a$, $b$ и параметр $\alpha$ или записаны все выражения, позволяющие его выразить через указанные величины: $$\qquad F_2=\rho_вgaL\cdot \frac{b-a\operatorname{tg}\alpha}{2}.$$ Примечание 1. Если погруженная часть бруска разбита на $N > 2$ элементов, балл за данный пункт ставится только в случае, если модули сил Архимеда правильно определены для всех $N$ элементов (т.е. не сделано ни одной ошибки). Примечание 2. Баллы за этот пункт ставятся также в случае, если правильно найден хотя бы один модуль силы Архимеда (относительно выбранной оси), действующей на выделенный элемент в предположении о малости угла наклона плавающего бруска. |
1.50 |
|
| M1 Вычисление плеч сил Архимеда при разбиении бруска на два элемента. | ||
|
16
M1
Правильно найдено плечо силы Архимеда (относительно выбранной оси), действующей на первый выделенный элемент (призму) — явно выражено через $a$ и параметр $\alpha$ или записаны все выражения, позволяющие его выразить через $a$ и $\alpha$: $$l_1=\frac{a\cos{2\alpha}}{6\cos\alpha}.$$ Примечание. Если погруженная часть бруска разбита на $N > 2$ элементов, балл за данный пункт ставится только в случае, если плечи сил Архимеда относительно выбранной оси правильно определены для $N-1$ элементов (т.е. сделано не более одной ошибки). |
1.50 |
|
|
17
M1
Правильно найдено плечо силы Архимеда (относительно выбранной оси), действующей на второй выделенный элемент (параллелепипед) — явно выражен через $a$ и параметр $\alpha$ или записаны все выражения, позволяющие его выразить через $a$, $b$ и $\alpha$: $$l_2=\frac{b+a\operatorname{tg}\alpha}{4}\cdot\sin{\alpha}.$$ Примечание 1. Если погруженная часть бруска разбита на $N > 2$ элементов, балл за данный пункт ставится только в случае, если плечи сил Архимеда относительно выбранной оси правильно определены для всех $N$ элементов (т.е. не сделано ни одной ошибки). Примечание 2. Баллы за этот пункт ставятся также в случае, если правильно найдено хотя бы одно плечо силы Архимеда (относительно выбранной оси), действующей на выделенный элемент в предположении о малости угла наклона плавающего бруска. |
1.50 |
|
|
18
M1
Правильно найдено плечо силы тяжести (относительно выбранной оси), действующей на весь брусок (явно выражен через $a$ и параметр $\alpha$ или записаны все выражения, позволяющие его выразить через $a$ и $\alpha$). Примечание. В случае, если рассматривается ось, проходящая через центр масс бруска, данный пункт засчитывается автоматически. |
0.50 |
|
| M1 Применение условия равновесия (уравнения моментов сил). | ||
|
20
M1
Для бруска правильно записано условие равновесия (уравнение моментов сил) относительно выбранной оси (все силы и моменты сил явно выражены через $a$, $b$ и параметр $\alpha$). Относительно оси, проходящей через центр масс бруска, оно имеет вид: $$\frac{1}{2} \rho_вg a^2L\operatorname{tg}\alpha\cdot \frac{a\cos 2\alpha}{6\cos\alpha}=\rho_вgaL\cdot \frac{b^2-a^2\operatorname{tg}^2\alpha}{8}\cdot \sin\alpha .$$ |
1.00 |
|
|
21
M1
Условие равновесия бруска (уравнение моментов сил) записано в общем виде $F_1l_1=F_2l_2$ (явно не выражены через $a$, $b$ и параметр $\alpha$ входящие в него силы и плечи сил либо использованы значения этих величин, хотя бы одна из которых ранее найдена неправильно). Примечание. Условие равновесия в общем виде $F_1l_1=F_2l_2$ должно быть записано именно для бруска (а не просто присутствовать в тексте работы). Величины $F_1$, $l_1$, $F_2$ и $l_2$ должны относиться к бруску, это должно явно следовать из текста работы и (или) из приведенного в ней чертежа. |
0.50 |
|
| 22 M1 Условие равновесия бруска (уравнение моментов сил) не записано. | 0.00 |
|
| M2 Рассмотрение случая плавания бруска в наклонном положении. Нахождение положения центра масс погруженной части бруска (призмы с поперечным сечением в виде трапеции) без разбиения этой призмы на конечное число элементов — например, путем прямого интегрирования. | ||
| 24 M2 Правильно записана (в общем виде) или явно используется формула для расчета координаты центра масс. | 0.10 |
|
| 25 M2 Указано или явно используется в решении, что точка приложения силы Архимеда совпадает с центром масс погруженной части бруска. | 0.40 |
|
| 26 M2 Записаны корректные исходные формулы (например, подынтегральные выражения) или представлен правильный геометрический метод, позволяющие(-ий) найти обе координаты центра масс погруженной части бруска. | 3.00 |
|
|
27
M2
Записаны корректные исходные формулы или представлен правильный геометрический метод,, позволяющие(-ий) найти только одну (любую) из координат центра масс погруженной части бруска. Примечание. Баллы за этот пункт ставятся также в случае, если записаны корректные исходные формулы или представлен правильный геометрический метод, позволяющие(-ий) найти хотя бы одну координату центра масс погруженной части бруска в предположении о малости угла наклона плавающего бруска. |
1.50 |
|
| 28 M2 Отсутствуют корректные исходные формулы, позволяющие найти хотя бы одну координату центра масс погруженной части бруска. | 0.00 |
|
| 29 M2 Правильно найдены обе координаты центра масс погруженной части бруска — проведены все необходимые вычисления (выполнены геометрические построения) и записаны итоговые выражения. | 3.50 |
|
|
30
M2
Правильно найдена только одна (любая) координата центра масс погруженной части бруска — проведены все необходимые вычисления (выполнены геометрические построения) и записано итоговое выражение. Примечание. Баллы за этот пункт ставятся также в случае, если правильно найдена хотя бы одна (любая) координата центра масс погруженной части бруска в предположении о малости угла наклона плавающего бруска. |
1.75 |
|
| 31 M2 Не найдена правильно ни одна из координат центра масс погруженной части бруска. | 0.00 |
|
| 32 M2 Правильно записаны уравнения, отражающие тот факт, что при равновесном плавании центр масс погруженной части бруска должен располагаться под центром масс бруска. | 1.00 |
|
| 33 M2 Правильных уравнений не записано, но верно указано, что при равновесном плавании центр масс погруженной части бруска должен располагаться под центром масс бруска. | 0.50 |
|
| 34 M2 Не указано, что при равновесном плавании центр масс погруженной части бруска должен располагаться под центром масс бруска. | 0.00 |
|
| Получение итогового результата | ||
| 36 Правильно определен параметр $\alpha$ — угол наклона верхней грани бруска к поверхности воды: $\alpha=30^\circ.$ | 1.00 |
|
| 37 Объяснено, почему плавание бруска в найденном наклонном положении будет устойчивым. | 0.50 |
|
| 38 Указано (без объяснения), что плавание бруска в найденном наклонном положении будет устойчивым. | 0.25 |
|
| 39 Отсутствует упоминание о том, что плавание бруска в найденном наклонном положении будет устойчивым. | 0.00 |
|
|
40
Правильно найдена (выражена через $a$, $b$ и $\alpha$) глубина $H$ погружения низшей точки бруска при его плавании в найденном наклонном положении: $$H=\frac{b+a\operatorname{tg}\alpha}{2}\cdot\cos\alpha .$$ |
0.30 |
|
|
41
Указано, что найденная глубина является ответом на вопрос задачи, и этот ответ представлен в явном виде: $$H=\frac{\sqrt{7/3}+1}{4}\cdot a\approx 0{,}632\,a.$$ |
0.20 |
|