A1  ^1.00 К точке $C$ (рис. 2) приложена сила $F_1$, направленная вертикально вниз. Чему равна деформация $\Delta l_2$ пружины с коэффициентом жесткости $k_2$ в этом случае? Ответ выразите через величины $k_1$, $k_2$, $k_3$ и $F_1$.

Механические системы пружин аналогичны электрическим цепям. Соответствующими величинами являются: $U - \Delta l$, $I-F$, $R- \frac{1}{k}$.

Так как резисторы $R_2$ и $R_3$ на рис. 1 соединены параллельно, то напряжения на них равны $I_2 R_2=I_3 R_3$. С учетом того, что $I_3+I_2=I_1$, находим $I_2=\frac{I_1 R_3}{R_3+R_2}$ или $U_2=\frac{I_1 R_3}{R_3+R_2}⋅R_2=\frac{I_1}{1/R_2 +1/R_3 }$. А, значит, в аналогичной механической системе на рис. 2 деформация второй пружины равна

A2  ^1.00 Определите эффективный коэффициент жесткости $k_0$ системы пружин $AC$, представленной на рис. 2. Ответ выразите через величины $k_1$, $k_2$ и $k_3$.

Обще сопротивление электрической цепи на рис. 1 равно
$ R_0=R_1+\frac{R_2 R_3}{R_2+R_3}$. Аналогичное выражение для эффективного коэффициента жесткости $k_0$ имеет вид: $\frac{1}{k_0} =\frac{1}{k_1} +\frac{1}{k_3+k_2}$, откуда находим

B1  ^1.00 Определите эффективную жесткость $k_E$ системы, если прикладывать к точке $E$ силу, направленную вертикально вниз. Ответ необходимо выразить через величину $k$.

Пусть $I'$ –- сила тока через резистор с номером 3. С учетом симметрии расставим силы токов через все резисторы с учетом закона Ома и правил Кирхгофа (см. рис. 8). Откуда $4I'=I$. Значит общее сопротивление $R_E'$ участка электрической цепи равно $ R_E'=\frac{U_{DE}}{I}=\frac{2I' R+I' R+I' R+2I' R}{4I'}=\frac{3R}{2}$. Добавление одной пружины к точке $D$ механической системы аналогично добавлению одного резистора c сопротивлением $R$ к участку электрической цепи. Общее сопротивление электрической цепи в этом случае равно $ R_E=R_E' +R =\frac{5R}{2}$.
Аналогичное соотношение в механической системе имеет вид: $\frac{1}{k_E} =\frac{5}{2}⋅\frac{1}{k}$, откуда

B2  ^2.50 Определите эффективную жесткость $k_Y$ системы, если прикладывать к точке $Y$ силу, направленную вертикально вниз. Ответ необходимо выразить через величину $k$. 

Если точке $Y$ механической системы, изображенной на рис. 3, приложена вертикальная сила $F$, то согласно условию равновесия механической системы в точке $D$ на нее также действует сила $F$. Это аналогично подключению к точкам $D$ и $Y$ в аналогичной электрической схеме генератора тока c номинальным значением силы тока $I$.

Действие одного генератора, подключенного к точкам $D$, $Y$ (рис. 9), эквивалентно действию двух генераторов (с одинаковым номинальным значением силы тока $I$), подключенных к точкам $D$, $X$ и $X$, $Y$ соответственно (см. рис. 10, 11). Силы токов на рис. 10 и рис. 11 расставлены с учетом симметрии, закона Ома и правил Кирхгофа. Так как $I_x=I/8$ и $ I_y=I/24$, то $ I_x=3I_y$. На исходной схеме (рис. 9) результирующие силы токов посчитаны согласно методу наложения токов.

Общее сопротивление $R_Y'$ участка электрической цепи на рис. 9 равно:
$R_Y'=\frac{U_{DY}}{I}=\frac{13I_y R+8I_y R+8I_y R}{24I_y }=\frac{29R}{24}$.
Добавление одной пружины к точке $D$ механической системы аналогично добавлению одного резистора c сопротивлением $R$ к участку электрической цепи. Общее сопротивление электрической цепи в этом случае равно $ R_Y=R_Y' +R =\frac{53R}{24}$.
Аналогичное соотношение в механической системе примет вид: $\frac{1}{k_Y} =\frac{53}{24}⋅\frac {1}{k}$, откуда

C1  ^1.50 Определите эффективную жесткость $k_\infty$ системы, если прикладывать к точке $H$ силу, направленную вертикально вниз. Ответ необходимо выразить через величину $k$.

Механической системе, показанной на рис. 4, аналогична электрическая схема (см. рис. 12), состоящая из бесконечного количества резисторов с одинаковым сопротивлением $R$. Пусть $r_\infty$ – сопротивление схемы между выводами $H$ и $H'$. Обведенный на схеме участок также имеет сопротивление $r_\infty$. Значит, схему можно преобразовать к эквивалентной, представленной на рис. 13.

Сопротивление электрической цепи $r_\infty=\frac{R(R+r_\infty)}{R+(R+r_\infty)}$, откуда получаем квадратное уравнение $r_\infty^2+Rr_\infty-R^2=0$. Оставляем только положительный корень полученного уравнения: $r_\infty=\frac{\sqrt{5}-1}{2}R$.

Аналогичное соотношение в механической системе имеет вид:
$ \frac{1}{k_\infty} =\frac{\sqrt{5}-1}{2}⋅\frac{1}{k}=\frac{2}{\sqrt{5}+1}⋅\frac{1}{k}$, откуда

C2  ^1.50 Определите деформацию $\Delta l_x$ пружины «$x$», если к точкам $G$ и $H$ приложить две одинаковые силы $F$, направленные вертикально вниз. Ответ необходимо выразить через величины $F$ и $k$.

Действие на механическую систему в точках $G$ и $H$ силами $F$, направленными вертикально вниз, в электрической схеме аналогично подключению двух генераторов тока (с одинаковым номинальным значением силы тока $I$) к точкам $H'$, $H$ и $H'$, $G$. Результирующие силы токов находим методом наложения токов (рис. 14).

Т.е. сила тока через резистор "x" равна $I$, а напряжение – $U_x=IR$. Аналогичное выражение для деформации $\Delta l_x$ пружины «x» имеет вид: $\Delta l_x=F⋅\frac{1}{k}$.