Некоторые кристаллические электроизоляционные материалы, такие как кварц и цирконат-титанат свинца, проявляют электрический отклик при механическом воздействии. Проще говоря, механическое напряжение поляризует кристаллы, что называется пьезоэлектрическим эффектом. Это явление можно объяснить особенностью структуры их молекул: деформация придает каждой молекуле электрический дипольный момент. Обратно, в присутствии электрического поля возникает механическое напряжение — явление, известное как обратный пьезоэлектрический эффект. Однако в этой задаче мы пренебрежем обратным пьезоэлектрическим эффектом.

В этой задаче исследуется простое устройство, основанное на пьезоэлектричестве, — пьезоэлемент. Он состоит из пьезоэлектрического материала, помещенного между двумя круглыми металлическими пластинами. Когда к элементу прикладывается сила, перпендикулярная металлическим пластинам, между пластинами возникает напряжение, зависящее от силы.

Оборудование

1. Пьезоэлемент с электрическими проводами, прикрепленный к деревянному основанию. Суммарная сила, действующая на пьезоэлемент, не должна превышать 100 Н!
2. Мультиметр с внутренним сопротивлением 1 МОм
3. Конденсатор неизвестной емкости $C$
4. Диод 1N4007 с напряжением открытия 0.56 В
5. Макетная плата
6. Провод банан-крокодил (2 шт.)
7. Электронные весы (предел измерения до 10 кг)
8. Секундомер
9. 2 разных резиновых мяча
10. Деревянная подставка с регулируемым механизмом сброса. Вы можете регулировать высоту механизма сброса с помощью двух барашковых гаек на задней панели
11. Линейка 40 см
12. Пластиковый вкладыш для выравнивания давления на пьезопластинку
13. Батарейка 9 В в отсеке
14. Персональный набор перемычек
15. Зубочистка

Часть A. Упругость мячей (2 балла)

Из двух предоставленных вам резиновых мячей один более упругий, чем другой.

A1 Для более упругого резинового мяча определите долю кинетической энергии $\eta$, которая теряется при столкновении с твердой поверхностью. Проводите измерения для разных скоростей столкновения мяча с поверхностью.

Часть B. Отклик пьезопластинки (10 баллов)

B1 Измерьте емкость \(C\) выданного вам конденсатора.

B2 Металлические пластины по бокам пьезоэлемента также действуют как конденсатор. Найдите емкость \(C_p\) пьезоэлемента как можно точнее.

Подсказка: можно ли как-то использовать метод рядов?

B3 Измерьте и постройте график зависимости напряжения между пластинами пьезоэлемента от полной перпендикулярной силы, равномерно распределенной по поверхности пьезоэлемента через пластиковый вкладыш. При малых силах зависимость линейна, найдите угловой коэффициент \(\beta\) в этой области.

Подсказка: из-за малой ёмкости пьезопластинки невозможно просто подключить её к мультиметру.

B4 Молекулы кристаллов могут иметь поляризацию только ниже определенного критического значения. Найдите максимальное (насыщающее) напряжение пьезоэлемента, давление \(p_{sat}\) при насыщении и максимальную поверхностную плотность заряда \(\sigma_{max}\) на поверхности пьезоэлемента.

Часть C. Поведение при малой площади воздействия (1 балла)

Когда сила приложена к малой области пьезокристалла, из-за электромеханической связи кристалл будет стремиться изогнуться. В связи с этим весь кристалл окажется деформированным.

C1 Насколько изменится электрический отклик, когда сила приложена к малой площади кристалла (например, если давить на него зубочисткой)? Рассматривайте только линейную область отклика.

Часть D. Деформация мяча (4.5 балла)

D1 В этой части вы будете бросать более упругий резиновый мяч на пьезоэлемент. Во время столкновения между мячом и пьезоэлементом мяч деформируется. Можно предположить, что сила \(F\), действующая на мяч, зависит от упругой деформации мяча \(x\) по степенному закону:LATEXEQUATIONНайдите показатель степени \(\alpha\) и материальную константу \(k\).

Часть E. Время взаимодействия (2.5 балла)

Используя результат предыдущего задания, можно было бы определить время взаимодействия \(\tau\) более упругого мяча с деревянной поверхностью. Однако для менее упругого мяча нет простого описания, такого как уравнение из предыдущей части. Вместо этого мы можем сделать следующее предположение.

Если для некоторой скорости столкновения \(v_{0}\) зависимость силы, действующей на мяч, от времени можно описать как \(F_{0}(t) = f(t)\), то для любой другой скорости \(v_{1}\) временная зависимость имеет аналогичную форму, и мы можем выразить силу как:\[F_{1}(t) = a_{1}f(b_{1}t). \tag{2}\]Иными словами, профиль зависимости силы от времени остаётся тем же, меняются лишь максимальная сила столкновения и его длительность.

E1 Оцените и постройте с точностью до постоянного множителя график зависимости времени взаимодействия \(\tau\) от скорости столкновения \(v\) для столкновений менее упругого резинового мяча с твердой поверхностью.