Некоторые кристаллические электроизоляционные материалы, такие как кварц и цирконат-титанат свинца, проявляют электрический отклик при механическом воздействии. Проще говоря, механическое напряжение поляризует кристаллы, что называется пьезоэлектрическим эффектом. Это явление можно объяснить особенностью структуры их молекул: деформация придает каждой молекуле электрический дипольный момент. Обратно, в присутствии электрического поля возникает механическое напряжение — явление, известное как обратный пьезоэлектрический эффект. Однако в этой задаче мы пренебрежем обратным пьезоэлектрическим эффектом.

В этой задаче исследуется простое устройство, основанное на пьезоэлектричестве, — пьезоэлемент. Он состоит из пьезоэлектрического материала, помещенного между двумя круглыми металлическими пластинами. Когда к элементу прикладывается сила, перпендикулярная металлическим пластинам, между пластинами возникает напряжение, зависящее от силы.

Оборудование

1. Пьезоэлемент с электрическими проводами, прикрепленный к деревянному основанию. Суммарная сила, действующая на пьезоэлемент, не должна превышать 100 Н!
2. Мультиметр с внутренним сопротивлением 1 МОм
3. Конденсатор неизвестной емкости $C$
4. Диод 1N4007 с напряжением открытия 0.56 В
5. Макетная плата
6. Провод банан-крокодил (2 шт.)
7. Электронные весы (предел измерения до 10 кг)
8. Секундомер
9. 2 разных резиновых мяча
10. Деревянная подставка с регулируемым механизмом сброса. Вы можете регулировать высоту механизма сброса с помощью двух барашковых гаек на задней панели
11. Линейка 40 см
12. Пластиковый вкладыш для выравнивания давления на пьезопластинку
13. Батарейка 9 В в отсеке
14. Персональный набор перемычек
15. Зубочистка

Часть A. Упругость мячей (2 балла)

Из двух предоставленных вам резиновых мячей один более упругий, чем другой.

A1  ^2.00 Для более упругого резинового мяча определите долю кинетической энергии $\eta$, которая теряется при столкновении с твердой поверхностью. Проводите измерения для разных скоростей столкновения мяча с поверхностью.

Часть B. Отклик пьезопластинки (10 баллов)

B1  ^2.00 Измерьте емкость \(C\) выданного вам конденсатора.

B2  ^2.50 Металлические пластины по бокам пьезоэлемента также действуют как конденсатор. Найдите емкость \(C_p\) пьезоэлемента как можно точнее.

Подсказка: можно ли как-то использовать метод рядов?

B3  ^4.00 Измерьте и постройте график зависимости напряжения между пластинами пьезоэлемента от полной перпендикулярной силы, равномерно распределенной по поверхности пьезоэлемента через пластиковый вкладыш. При малых силах зависимость линейна, найдите угловой коэффициент \(\beta\) в этой области.

Подсказка: из-за малой ёмкости пьезопластинки невозможно просто подключить её к мультиметру.

B4  ^1.50 Молекулы кристаллов могут иметь поляризацию только ниже определенного критического значения. Найдите максимальное (насыщающее) напряжение пьезоэлемента, давление \(p_{sat}\) при насыщении и максимальную поверхностную плотность заряда \(\sigma_{max}\) на поверхности пьезоэлемента.

Часть C. Поведение при малой площади воздействия (1 балла)

Когда сила приложена к малой области пьезокристалла, из-за электромеханической связи кристалл будет стремиться изогнуться. В связи с этим весь кристалл окажется деформированным.

C1  ^1.00 Насколько изменится электрический отклик, когда сила приложена к малой площади кристалла (например, если давить на него зубочисткой)? Рассматривайте только линейную область отклика.

Часть D. Деформация мяча (4.5 балла)

D1  ^4.50 В этой части вы будете бросать более упругий резиновый мяч на пьезоэлемент. Во время столкновения между мячом и пьезоэлементом мяч деформируется. Можно предположить, что сила \(F\), действующая на мяч, зависит от упругой деформации мяча \(x\) по степенному закону:LATEXEQUATIONНайдите показатель степени \(\alpha\) и материальную константу \(k\).

Часть E. Время взаимодействия (2.5 балла)

Используя результат предыдущего задания, можно было бы определить время взаимодействия \(\tau\) более упругого мяча с деревянной поверхностью. Однако для менее упругого мяча нет простого описания, такого как уравнение из предыдущей части. Вместо этого мы можем сделать следующее предположение.

Если для некоторой скорости столкновения \(v_{0}\) зависимость силы, действующей на мяч, от времени можно описать как \(F_{0}(t) = f(t)\), то для любой другой скорости \(v_{1}\) временная зависимость имеет аналогичную форму, и мы можем выразить силу как:\[F_{1}(t) = a_{1}f(b_{1}t). \tag{2}\]Иными словами, профиль зависимости силы от времени остаётся тем же, меняются лишь максимальная сила столкновения и его длительность.

E1  ^2.50 Оцените и постройте с точностью до постоянного множителя график зависимости времени взаимодействия \(\tau\) от скорости столкновения \(v\) для столкновений менее упругого резинового мяча с твердой поверхностью.