Металлическая гайка удерживается на гладком хрупком куполе, имеющем форму полусферы радиуса $R$, в вершине которой сделано небольшое отверстие, в которое гайка свободно проходит. Какую минимальную скорость, направленную по касательной к куполу, нужно сообщить гайке, чтобы она попала в отверстие? Радиус, проведенный в точку нахождения гайки, составляет с вертикалью угол $\alpha$.
Ответ:
При $\cos\alpha \ge 2/3$ гайка попадает в отверстие, двигаясь по поверхности купола, и $v_\min=\sqrt{2gR(1-\cos\alpha)}$.
При $\cos\alpha < 2/3$ гайка попадает в отверстие, летя по параболе, и $v_\min=\sqrt{gR\,\cfrac{1+\cos\alpha}{2\cos\alpha}}$.
