1  ^?? Найдите скорость шарнира перед ударом о стол.

Непосредственно перед ударом угол между стержнями развернутый (равен $180^\circ$). Т.к. стержни нерастяжимы и несжимаемы, то скорости $\bar u_1,\bar u$ и $\bar u_2$ имеют одинаковые горизонтальные проекции, т.е.
$$
u_1\cos\alpha_1=u\cos\alpha=u_2\cos\alpha_2.
$$$\bar g \bot$ горизонтали $\Rightarrow$ импульс по горизонтали сохраняется $\Rightarrow$ $$\Rightarrow mu_1\cos\alpha_1+mu\cos\alpha+2mu_2\cos\alpha_2=4m(cos\alpha_1\cdot u_1)=0\Rightarrow \\
\Rightarrow u_1\cos\alpha_1=0$$Итак $u_1\cos\alpha_1=u\cos\alpha=u_2\cos\alpha_2$
Грузы $m$ и $2m$ скользят по столу $\Rightarrow$ $\bar u_1$ и $\bar u_2$ имеют только горизонтальные составляющие, которые как мы выяснили, равны нулю.
Итак, $\bar u_1=\bar u_2=0$.
Из ЗСЭ: $\frac{u^2m}{2}=mgL\Rightarrow u=\sqrt{2gL}$

2  ^?? Найдите скорость шарика массой $2m$ в тот момент, когда угол между стержнями равен $90^\circ$.

Из условия жесткости стержней можно найти две перпендикулярные составляющие скорости шарнира (см. рисунок).
Горизонтальная составляющая импульса системы равна нулю $\Rightarrow 2mv+\frac{mv}{2}=\frac{mv}{2}+mW\Rightarrow w=\frac53v$.
ЗСЭ: $\frac{mw^2}{2}+\frac m2\left((\frac{w}{\sqrt2})^2+ (\frac{v}{\sqrt2})^2 \right)+ \frac{2mv^2}{2}=mgL(\left(1-\frac{1}{\sqrt2}\right)$.
Имеем $2gl\left(1-\frac{1}{\sqrt2}\right)=\frac32w^2+\frac52v^2$.
С учетом $w=\frac53v$ имеем
$$
2gl\left(1-\frac{1}{\sqrt2}\right)= \frac{20}{3} v^2 \\
v=\sqrt{\frac{3}{10}gl\left(1-\frac{1}{\sqrt2}\right)}.
$$