Если ракета неподвижна, то после выбрасывания пробки она приобретает скорость $u$, так что $\frac{u^2}{2}=gh \Rightarrow u=\sqrt{2gh}$, поскольку ракета движется вертикально вверх в поле тяжести $g$.
В нижней точке траектории ракета имеет горизонтальную скорость, равную $\sqrt{2gR}$ по модулю.
Перейдем в систему отсчета $СО^{\prime}$, движущуюся со скоростью $\vec v$. В ней ракета покоится в нижней точке окружности. После выбрасывания пробки на приобретет скорость $u=\sqrt{2gh}$. В системе отсчета Земли ($СО$) скорость ракеты после выбрасывания пробки будет
$$u+v=\sqrt{2gR}+\sqrt{2gh}=\sqrt{2g}(\sqrt{R}+\sqrt{h}).$$
После того, как ракета оторвется от рельсов, её скорость будет направлена вверх. В верхней точке полета скорость ракеты будет равна нулю.
Из Закона сохранения энергии:
$$(H+R)g=\frac{(u+v)^2}{2},$$где $H$ — высота верхней точки траектории ракеты над уровнем земли. Имеем
$$H=\frac{(u+v)^2}{2g}-R=\frac{(\sqrt{R}+\sqrt{h})^2\cdot 2g}{2g}-R=h+2\sqrt{Rh}=32~м.$$Объясним с точки зрения Закона сохранения энергии, почему $H > h$.
В первом случае пробка вылетает со скоростью $w$ в противоположную ракете сторону.
Во втором случае происходит то же самое, но в $СО^{\prime}$. А в $СО$ земли после выброса пробки её скорость равна $|w-v|$ по модулю.
Механическая энергия пробки массой $m_{пр}$ в первом случае равна $\frac{m_{пр}w^2}{2}=E_1$, а во втором $$\frac{m_{пр}|w-v|^2}{2}-m_{пр}gR=m_{пр}\left(\frac{|w-v|^2}{2}-\frac{v^2}{2}\right)=\frac{m_{пр}}{2}w^2-m_{пр}wv=E_2 < E_1.$$Из-за того, что $E_2 < E_1$, у ракеты во втором случае будет большая механическая энергия. Следовательно, ракета поднимется на большую высоту.