Пусть $u$ — скорость катушки.
В первом приближении нить при малом сдвиге катушки остается параллельной самой себе.
Если катушка сдвинулась на расстояние $u\Delta t$ за время $\Delta t$, то нить укоротилась на $u\Delta t\cos\alpha$, то есть $|BA^{'}|=|BA|-u\Delta t \cos\alpha$.
Помимо того, что участок нити $|AB|$ укоротился, катушка совершила поворот на угол $\frac{u\Delta t}{R}$ и размотался участок нити длиной $$r\cdot \frac{u\Delta t}{R}=\frac{r}{R}u\Delta t.$$
Таким образом, за время $\Delta t$ через блок было вытянуто $u\Delta t\cos\alpha+\frac{r}{R}u\Delta t=\left(\cos\alpha+\frac{r}{R}\right)u\Delta t$ нити.
По условия $\left(\cos\alpha+\frac{r}{R}\right)u\Delta t=v_{0}\Delta t$ откуда получаем:
$$u=\frac{v_{0}}{\frac{r}{R}+\cos\alpha}.$$