На шарик действуют две постоянные силы: сила тяжести $m\vec g$ и сила $q\vec E$ со стороны электростатического поля. Следовательно, шарик будет двигаться с постоянным ускорением
$$\vec a=\vec g+\frac{q}{m}\vec E.$$
Вектор $\vec a$ составляет с горизонтом угол $\alpha$, причем
$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{g}{Eq/m}=\frac{mg}{Eq}.$$
Скорость же шарика будет все время меняться и по величине, и по направлению. Через время $t$ после начала движения модуль скорости
$$v_t=\sqrt{\left(\frac{qE}{m}t\right)^2+(v_0-gt)^2};$$
вектор $\vec v_t$ составляет с вертикалью угол $\beta_t$ такой, что
$$\operatorname{tg}\beta_t=\frac{qEt}{m(v_0-gt)}.$$
Скорость шарика будет минимальная в тот момент времени $\tau$, когда проекция ускорения $\vec a$ на направление скорости $\vec v_\tau$ будет равна нулю, то есть когда векторы $\vec a$ и $\vec v_\tau$ будут перпендикулярны. Угол, который составит в этот момент вектор $\vec v_\tau$ с вертикалью, будет равен $\alpha$. Из условия $\operatorname{tg}\alpha=\operatorname{tg}\beta_\tau$ найдем $\tau$:
$$\tau=\frac{m^2gv_0}{m^2g^2+q^2E^2}.$$
Минимальная скорость шарика в процессе движения равна по величине
$$v_{\min}=v_\tau=v_0\frac{qE}{\sqrt{q^2E^2+m^2g^2}}.$$