Пусть до приведения ящика в движение среднеквадратичная скорость молекул газа равна $u$. Тогда
$$\frac{m_0u^2}{2}=\frac{3}{2}kT.$$Температура газа не зависит от системы отсчета (СО). Перейдем в СО ящика. В ней ящик покоится, а каждой молекуле добавили скорость $(-\vec v)$. Чтобы найти температуру газа в новой СО, достаточно найти среднеквадратичную скорость $u^{'}$ молекул. В самом деле,
$$\frac{3}{2}kT^{'}=\frac{m_0u^{'2}}{2},$$поскольку в СО ящика средняя скорость молекул газа равна нулю и можно применить стандартную формулу для температуры.
Все молекулы в лабораторной СО можно разбить на пары так, что в каждой паре молекулы будут иметь равные по модулю и противоположные по направлению скорости $\tilde{u}$. При переходе в СО ящика к ним прибавится вектор $(- \vec v)$. Новые скорости этих двух молекул будут равны $\tilde{u}_1'$ и $\tilde{u}_2'$ по модулю (см. рисунок).
По Теореме косинусов
$$(\tilde{u}_1^{'})^2=v^2+\tilde{u}^2-2uv\cos\alpha,$$$$(\tilde{u}_2^{'})^2=v^2+\tilde{u}^2+2uv\cos\alpha.$$$$\frac{(\tilde{u}_1^{'})^2+(\tilde{u}_2^{'})^2}{2}=\tilde{u}^2+v^2.$$Поэтому
$$(u^{'})^2=u^2+v^2.$$$$\frac{3}{2}kT^{'}=\frac{3}{2}kT+\frac{m_0v^2}{2}.$$$$\Delta T=\frac{\frac{m_0v^2}{2}}{\frac{3}{2}k}=\frac{m_0v^2}{3k},$$где $k$ $-$ постоянная Больцмана.