На сколько процентов, самое большее, можно изменить период колебаний, если превратить математический маятник в разновидность физического, закрепив в определенной точке стержня груз той же массы, что и на конце?

Момент инерции маятника относительно точки $O: I=mx^2+mL^2$.
Расстояние от точки $ O$ до центра масс маятника $C$: $d=\frac{x+L}{2}$.

Уравнение движения маятника: $$2mgd\Theta=I\Theta~~(\Theta\ll1).$$Это уравнение малых колебаний с периодом
$$
T=2\pi\left(\frac{2mgd}{I}\right)^{-1/2}=2\pi\sqrt{\frac{(x^2+L^2)m}{2mg\left(\frac{x+L}{2}\right)}}=2\pi\sqrt{\frac{x^2+L^2}{g(x+L)}}.
$$Итого $T(x)=2\pi\sqrt{\frac{x^2+L^2}{g(x+L)}}.$
Период колебаний исходного маятника равен $T_0=2\pi\sqrt{\frac Lg}$.
Итак, $T(x)=T_0\sqrt{\frac{x^2+L^2}{(x+L)L}}.$
Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{x^2+l^2}{L(x+L)}.$$$$
f'(x)=\frac{2xL(x+L)-(x^2+L^2)L}{L^2(x+L)^2}= \frac{x^2+2xL-L^2}{L(x+L)^2} \\
f'(x)=0\iff x=l(\pm\sqrt2-1).
$$

$f(x)$ имеет локальные максимумы на $[0;L]$ при $x=0$ и $x=L$ и равна $1$ в этих точках и имеет локальный минимум при $x=(\sqrt2-1)L.$
$f_{min}=2(\sqrt2-1).$
$T_{max}=T_0$
$T_{min}=\sqrt{2(\sqrt2-1)}=0.91~T_0$