Чему равно отношение $M_{1} / M_{2}$ масс звезд?

Обе звезды вращаются вокруг общего центра масс $C$ с постоянной угловой скоростью $\omega$.

При этом звёзды движутся по окружностям с радиусами
$$
R_{1}=\frac{M_{2}}{M_{1}+M_{2}} l, \quad R_{2}=\frac{M_{1}}{M_{1}+M_{2}} l.
$$
где $l=l_{1}+l_{2}$ - расстояние между звездами. Из второго закона Ньютона для движения первой звезды
$$
M_{1} \omega^{2} R_{1}=\frac{G M_{1} M_{2}}{l^{2}},
$$
найдем эту угловую скорость:
$$
\omega^{2}=\frac{G\left(M_{1}+M_{2}\right)}{l^{3}}.
$$
Космический корабль массой $m$ должен двигаться с той же угловой скоростью вокруг центра масс двойной звезды по окружности радиусом
$$
r=\left|R_{1}-l_{1}\right|.
$$
Расход топлива минимален, если двигатель выключен. Это возможно, если центростремительное ускорение корабля при движении по окружности создается только суммарной силой тяжести:
$$
m \omega^{2} r=-\frac{G M_{1} m}{l_{1}^{2}}+\frac{G M_{2} m}{l_{2}^{2}}.
$$
При выборе знаков в правой части предполагалось, что корабль находится между центром масс системы и первой звездой, то есть $l_{1}R_{1}$, так как изменения знаков правой части уравнения для $m \omega^{2} r$ и выражения под знаком модуля в в уравнении для $r$ происходят одновременно. Подставляя в последнее уравнение выражение для частоты, находим
$$
\frac{1}{l^{3}}\left(M_{2} l_{2}-M_{1} l_{1}\right)=-\frac{M_{1}}{l_{1}^{2}}+\frac{M_{2}}{l_{2}^{2}},
$$
откуда
$$
\frac{M_{1}}{M_{2}}=\frac{\left(l_{1}+l_{2}\right)^{3}-l_{2}^{3}}{\left(l_{1}+l_{2}\right)^{3}-l_{1}^{3}} \cdot \frac{l_{1}^{2}}{l_{2}^{2}}.
$$