$$
I_Аr_А=I r \Rightarrow I=\frac{I_Аr_А}{r} \\
J=I_А+I=I_А\left(\frac{r_А}{r}+1\right)=\frac{r_А+r}{r} \cdot I_А .
$$
Через амперметр течет ток $I_А$. Когда в цепи течет ток $J$, ток через амперметр равен $I_А=J\cdot\frac{r}{r_А+r}$.
$r\ll r_А$. Шунт нужен для того, чтобы при достаточно большом токе $J$ ток через амперметр не очень большой, потому что $\frac{r}{r_А+r}\ll1.$
$J_{пред}=I_{А~пред}\frac{r_А+r}{r}$ — предельный ток в цепи, который может измерить амперметр.
$$
I_{1~пр}=10~мА=I_{А~пр}\frac{r_А+r_1}{r_1} \\
I_{2~пр}=3~мА=I_{А~пр}\frac{r_А+r_2}{r_2}
$$
$$
r_{А_1}=\frac{r_Аr_1}{r_А+r_1} \\
r_{А_2}=\frac{r_Аr_2}{r_А+r_2}
$$
$$I_1=\frac{U}{R+r_{А_1}}; I_2=\frac{U}{R+r_{А_2}} $$
Ток в цепи до подключения амперметра $\frac{U}{R}=I_0.$
$$
I_1=\frac{I_0}{1+\frac{r_{A_1}}{R}} = \frac{I_0}{1+\frac{r_{A}{I_{А~пр}}}{R I_{1~пр}}}=\frac{I_0}{1+\kappa \cdot \frac{1}{I_{1 ~пр}}},
$$
где $\kappa=\frac{r_АI_{А~пр}}{R}$. Аналогично $I_2=\frac{I_0}{1+\frac{\kappa}{I_{2~пр}}}.$
Итак,
$$
\left\{\begin{array} { l }
{ I _ { 1 } + \frac {\chi} { I_{1~пр} } = I _ { 0 } } \\
{ I _ { 2 } + \frac { \chi } {I_{2~пр} } = I _ { 0 } }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
I_1 I_{1~пр}+\kappa=I_0 I_{1~пр} \\
I_2 I_{2~пр}+\kappa=I_0I_{2~пр}
\end{array}\right.\right. \\
I_0=\frac{I_1 I_{1~пр}-I_2 I_{2~пр}}{I_{1~пр}-I_{2~пр}}=2.97~мА.
$$