В рамках данной задачи вам предстоит исследовать, как длина тени лёгкого чёрного шара, привязанного ко дну широкого сосуда ниткой и освещаемого солнечным светом зависит от уровня прозрачной жидкости $h$ в сосуде. Длина тени определяется как максимальное расстояние между её граничными точками. Считайте, что сила Архимеда, действующая на шар в воздухе достаточна для того, чтобы нить была натянута.
В дальнейшем используйте следующие обозначения:
1) Длина нити $l$
2) Радиус шара $R$
3) Угол падения лучей на поверхность жидкости $\alpha$
4) Угол преломления лучей $\beta$
5) Длина тени $L$
На графике представлена зависимость длины тени от уровня жидкости в сосуде.
Часть A. До излома
A1
Выразите $L$ через $R$ и $\alpha$ при $h=0$.
Пусть $h_1$ — уровень воды в сосуде в момент, когда на графике начинается излом.
A2
Выразите $L$ через $R$, $\alpha$, $\beta$, $l$ и $h$ при $0 < h < h_1$.
A3
Выразите $h_1$ через $l$, $R$, $\alpha$ и $\beta$.
Часть B. Исследование излома
Пусть $h_2$ — уровень воды в момент, когда излом переходит в линейный участок зависимости.
B1
При $h_1 < h < h_2$ получите зависимость длины тени от $l$, $R$, $\alpha$, $\beta$ и $h$.
B2
Выразите $h_2$ через $l$, $R$, $\alpha$, $\beta$.
Часть C. Линейный участок
Пусть $h_3$ — уровень жидкости в момент, когда длина тени перестаёт меняться.
C1
Поскольку участок линейный, зависимость $L(h)$ имеет вид $L=L_0-kh$. Выразите $L_0$ и $k$ через $l$, $R$, $\alpha$ и $\beta$.
C2
Выразите минимальную длину тени через $l$, $R$, $\alpha$ и $\beta$.
С3
Выразите $h_3$ через $l$, $R$, $\alpha$ и $\beta$.
Часть D. Численные значения
D1
Найдите численные значения $\cos\alpha$ и $\cos\beta$.
