Результирующая сила $\vec F$ (векторная сумма всех сил, действующих на тело) определяется в соответствии со вторым законом Ньютона ускорение $\vec a_{C}$ центр масс тела:
$$
\vec F=m \vec a_{C},
$$откуда
$$
F_{x}=m a_{C x}, \quad F_{y}=m a_{C y},
$$где $a_{C x}$, $a_{C y}$ – проекции ускорения центра масс, $m=\rho l$ – масса каната, $l$ – его длина. Введем систему координат $O x y$ как показано на рисунке ниже.
Пусть $l_{1}$ и $l_{2}$ – длины свисающих кусков каната в зависимости от времени, тогда вблизи рассматриваемого момента времени $(t=0)$
$$
l_{1}(t)=l_{10}+v t+\frac{a t^{2}}{2}, \quad l_{2}(t)=l_{20}-v t-\frac{a t^{2}}{2}, \qquad (1)
$$причём $l_{1}(0)-l_{2}(0)=l_{10}-l_{20}=h$. Координаты центра масс каната:
$$
\begin{gathered}
x_{C}=\frac{\rho l_{1} \cdot r-\rho l_{2} \cdot r}{\rho l}=\frac{\left(l_{1}-l_{2}\right) r}{l}, &\qquad (2)
\\
y_{C}=\frac{\rho l_{1} \cdot\left(l_{1} / 2\right)+\rho l_{2} \cdot\left(l_{2} / 2\right)+\rho \pi r \cdot y_{0}}{\rho l}=\frac{l_{1}^{2}+l_{2}^{2}}{2 l}+\frac{\pi r y_{0}}{l}, &\qquad (3)
\end{gathered}
$$где $y_{0}$ – координата центра масс куска каната, лежащего на блоке. Подставив $(1)$ в $(2)$, получим
$$
x_{C}(t)=\frac{r h}{l}+\frac{2 r v}{l} t+\frac{1}{2} \cdot \frac{2 r a}{l} t^{2},
$$откуда видно, что по оси $x$ ускорение центра масс $a_{C x}=2 r a/ l$. После аналогичной подстановки $(1)$ в $(3)$ зависимость $y_{C}(t)$ примет вид многочлена четвёртой степени:
$$
y_{C}(t)=B_{0}+B_{1} t+B_{2} t^{2}+B_{3} t^{3}+B_{4} t^{4}.
$$Как и в случае равноускоренного движения, $B_{0}$ – это начальная координата, $B_{1}$ – начальная скорость, $2 B_{2}$ – начальное ускорение, которое в данном случае (в предположении $a(t)=\mathrm{const}$) не будет постоянным из-за наличия старших членов по $t$. Однако нам требуется найти именно начальное ускорение в этом движении, которое однозначно определяется коэффициентом
$$
B_{2}=\frac{h a+2 v^{2}}{2 l}, \quad \text { откуда } \quad a_{C y}(0)=2 B_{2}=\frac{h a+2 v^{2}}{l}.
$$Следовательно,
$$
F_{x}=\rho l \cdot a_{C x}=2 \rho r a, \quad F_{y}=\rho l \cdot a_{C y}=\rho h a+2 \rho v^{2}.
$$