Пусть доска сдвинулась на расстояние $x$ вправо. Посмотрим, как изменяется силы реакции опоры со стороны катков.
Изначально они в силу симметрии равны $\frac{mg}{2}$.
Запишем правило моментов относительно центра масс доски (точки $O$) для сдвинутой доски. Получим:
$$
N_L(L / 2+x)=N_R(L / 2-x)
$$Также в проекции на вертикальную ось запишем $2й$ закон Ньютона:
$$
N_L+N_R=m g \\
N_L=mg-N_R
$$$$
\begin{aligned}
& \left(m g-N_R\right)(L / 2+x)=N_R(L / 2-x) \\
& m g\left(\frac{L}{2}+x\right)=N_R\left(\frac{L}{2}-x+\frac{L}{2}+x\right)=N_R L .
\end{aligned}\\
N_R=m g \cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{x}{L}\right) .
$$Аналогично
$$
N_L=m g\left(\frac{1}{2}-\frac{x}{L}\right) \\
N_R-\frac{m g}{2}=\frac{m g x}{L} ; \quad N_L-\frac{m g}{2}=-\frac{m g x}{L}
$$
В задаче возможны 4 конфигурации.
$1.$ Крутится левый шероховатый каток и по часовой стрелке.
$$
F_{тр}(x)=F_{тр}(0)+\mu\left(N_L-\frac{m g}{2}\right)=F_{тр}(0)-\frac{\mu mg}{L}x \\
\mu N_L=\mu\left(\frac{m g}{2}+\left(N_L-\frac{m g}{2}\right)\right).
$$$$
F_{упр}(x)=F_{упр}(0)-k x .
$$$x$ означает смещение доски оси $x$ из положения равновесия.
$$
F(x)=F_{упр}(x)+F_{тр}(x)=F_{упр}(0)+F_{тр}(0)-x\left(\frac{\mu m g}{L}+k\right) .
$$$F(x)$ — проекция суммарной (полной) силы, действующей на доску при ее смещении $x$.
По условию $F_{упр}(0)+F_{тр}(0)=0$.
Поэтому $F(x)=-x\left(\frac{\mu m g}{L}+k\right).$
Запишем $\mathrm{II}$ закон Ньютона:
$$
\begin{aligned}
& m \ddot{x}=-x\left(\frac{\mu m g}{L}+k\right) \\
& \ddot{x}=-x\left(\frac{\mu g}{L}+\frac{k}{m}\right) .
\end{aligned}
$$Это уравнение гармонических колебаний с частотой $$
\omega=\sqrt{\frac{\mu g}{L}+\frac{k}{m}} .
$$Обратим внимание, что в данной конфигурации колебания возникают при любом $\mu.$
$2.$ Крутится левый каток и против часовой стрелки.
Аналогично случаю $1$ можно записать: $$
\begin{aligned}
& F_{тр}(x)=-\mu N_L=F_{тр}(0)-\mu\left(N_L-\frac{m g}{2}\right)=F_{тр}(0)+\frac{\mu m g}{l} x . \\
& F_{упр}(x)=F_{упр}(0)-k x
\end{aligned}
$$$F(x)=F_{тр}(0)+F_{упр}(0)-x\left(k-\frac{\mu m g}{l}\right)$.
Так же, как в случае $1$, придем к уравнению:
$$
\ddot{x}=-x\left(\frac{k}{m}-\frac{\mu g}{l}\right) .
$$Это уравнение гармонических колебаний только при $\frac{k}{m}-\frac{m g}{l}>0$, что равносильно $\mu<\frac{k L}{m g}$.
В случае $2$ колебания возможны лишь в случае $\mu<\frac{k L}{m g}$, их частота $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{M g}{L}}$.
$3.$ Правый каток шероховатый и крутится против часовой стрелки.
Данный случай симметричен случаю $1$. При любом $\mu$ возникнут гармонические колебания частоты $$
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}+\frac{\mu g}{L}} .
$$
$4.$ Правый каток шероховатый и крутится по часовой стрелке.
Данная ситуация симметрична случаю $2$. Гармонические колебания возникнут только при $\mu<\frac{k L}{m g}$ и их частота будет равна $$\omega=\frac{k}{m}-\frac{\mu g}{L}.$$