Где окажется новое изображение точки, если на поверхность зеркала ввести немного жидкости с показателем преломления, равным показателю преломления стекла линзы, так, чтобы весь зазор между линзой и зеркалом был заполнен этой жидкостью?

Обозначим оптическую силу линзы через $D$, так что $D=\frac1F$, где $F$ — фокусное расстояние линзы. Пусть $L$ — расстояние от точки до зеркала.

Зеркало создает эффект удвоения линзы: лучи проходят через линзу, отражаются и затем снова проходят через линзу. Фактически можно рассматривать систему без зеркала с двумя одинаковыми линзами (см. рисунок 1).
Их оптическая сила равна $D+D=2D$.
По формуле тонкой линзы (для эквивалентной системы на рисунке 1):$$
\frac{1}{L}+\frac{1}{L}=2 D \Rightarrow \frac{1}{L}=D=\frac{1}{F}; L=F .
$$

После того, как была налита жидкость, в эквивалентной системе на рисунке 1, все пространство между линзами стало заполнено материалом с показателем преломления, равным показателю преломления материала линзы. Полученная система имеет ту же оптическую силу, что и линза, склеенная из двух половинок исходной линзы, т.е. $D$.
Значит, источник находится в фокусе эквивалентной системы на рисунке 2.
Следовательно, искомое изображение точки будет на бесконечности.