1  ^?? На сколько градусов остынет вода за $1$ мин, если нагреватель отключить от сети при температуре $t_1=50^\circ С$?

Мы считаем, что скорость отдачи тепла в окружающую среду пропорциональна резкости температур в ней. Поэтому:
$$
P_{отд}=-\alpha\left(T-T_0\right)
$$Запишем уравнение теплового баланса в дифференциальной форме:
$$
C d T=\left(P_{отд}+P_{нагр}\right) d t
$$$C$ — теплоемкость системы,
$d T$ — изменение температуры,
$ d t$ — малый промежуток времени.
Или $$C \cdot \frac{d T}{d t}=P_{отд}+P_{нагр}=-\alpha\left(T-T_0\right)+P_{нагр}=\\
=-\alpha T+\left(P_{нагр}+\alpha T_0\right) .$$Составим по графику таблицу $\frac{\Delta T}{\Delta t}$, где $\Delta t=1~мин$.

$T,^\circ {\mathrm C}$	20	26.2	31.8	36.8	41.4	45.6	49.3	52.7	55.8	58.5
$\frac{\Delta T}{\Delta t}, \frac{{ }^{\circ} \mathrm{C}}{мин}$	6.2	5.6	5.0	4.6	4.2	3.7	3.4	3.1	2.7	2.6

Нанесем точки на график.
Проводим прямую и получаем:
$\frac{\Delta T}{\Delta t}=A T+B$, где $A=-0.0948 ~мин^{-1}$, $B=8.076\frac{^{\circ} \mathrm{C}}{мин} $
$T_0=20^{\circ} \mathrm{C}$, потому что такая температура указана при $t=0~мин$
$$
\frac{\Delta T}{\Delta t} \approx \frac{1}{C}\left(-\alpha T+\left(P_{нагр}+\alpha T_0\right)\right) \\
\alpha=\left[\begin{array}{ll}
0.0948 & \frac{1}{мин}
\end{array}\right] C \\
P_{нагр}+\alpha T_0=\left[\begin{array}{lll}
8.076 & \frac{^\circ \mathrm{C}}{мин}
\end{array}\right] \mathrm{C}.
$$Ответим на вопросы задачи.
$1)$ Скорость остывания при $t_1=50~^\circ \mathrm{C}$ равна $-\alpha(t_1-T_0).$ Время $1~мин $ считаем малым, так что скорость остывания $\approx$ постоянна.
$$
C\Delta T_{t_1}=-\alpha\left(t_1-T_0\right) \cdot 1~мин=\\
=-\left(t_1-T_0\right) \cdot 1~мин\left[0.0948 \frac{1}{мин}\right] \cdot C \\
\Delta T_{t_1}=-\left(t_1-T_0\right) \cdot 0.0948 \approx-2.8^{\circ} \mathrm{C} .
$$

2  ^?? Закипит ли вода, если нагреватель не выключать достаточно долго? Мощность нагревателя считать неизменной.

Действительно, величина $\Delta T_{t_1}$ мала по сравнению с $(t_1-t_0)$ т.г. скорость остывания можно было считать постоянной.
$2)$ $\frac{\Delta T}{\Delta t}$ образуется в ноль при $T_{max}=-\frac BA=85^{\circ} \mathrm{C} $.
Это значит, что нагреть воду более $85^{\circ} \mathrm{C} $ не удастся $\Rightarrow $ она не закипит, а $T$ установится $\approx 85^{\circ} \mathrm{C} $