Траектория движения шарика представляет собой дугу окружности, лежащую в вертикальной плоскости на пересечении сфер радиуса $R$ с центрами в точках $O$ и $A$ (см. рисунок).
Радиус этой окружности $r=R \sin \varphi$. Поскольку треугольник $A B O$ равносторонний,
$$
\varphi=\frac{\pi}{3}, \quad \sin \varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}.
$$
Скорость шарика в нижней точке $B$ найдём из закона сохранения энергии:
$$
m g r=\frac{m v^{2}}{2}.
$$
Так как шарик движется по окружности, его ускорение в точке $B$ равно $a=\frac{v^{2}}{r}=2 g$ и направлено вертикально вверх. Запишем второй закон Ньютона для шарика в точке $B$ в проекции на ось $x$:
$$
T \cos \varphi-N \cos \varphi=0,
$$
следовательно, $N=T$. Аналогично в проекции на ось $y$:
$$
m a=T \sin \varphi+N \sin \varphi-m g.
$$
Получаем $2 T \sin \varphi=3 m g$, откуда находим искомую силу натяжения
$$
T=m g \sqrt{3}.
$$