Пусть $T$ — сила натяжения нити. На груз массы $m$ действует сила натяжения нити $T$ и сила тяжести $mg$.
$m g-T=m a$ ($\mathrm{II}$ закон Ньютона).
$a$ — ускорение груза массы $m$.
$T=m(g-a)$.
Двигаясь с ускорением $a$ и нулевой начальной скоростью, груз $m$ пройдет путь $S=\frac{at^2}{2}$, откуда $a=\frac{2S}{t^2}.$
Масса бруска с валиком равна $M=km.$
Ускорение в центра масс системы «валик с бруском» равно $\frac{T}{M}=\frac{m(g-a)}{k m}=\frac{g-a}{k}$ согласно $\mathrm{II}$ закону Ньютона.
Перейдем в СО доски с валиком. В ней правый конец нити движется с ускорением $c=a-b$.
Поэтому угловое ускорение валика равно $\varepsilon=\frac{c}{R}=\frac{a-b}{R}$.
За время $t$ валик прокрутился на $\frac{\varepsilon t^2}{2}$ и совершит $\frac{\varepsilon t^2}{2} \cdot \frac{1}{2 \pi}$ оборотов.
$$
\varepsilon=\frac{a-b}{R}=\frac{1}{R}\left(\frac{2S}{t^2}\left(1+\frac{1}{k}\right)-\frac{g}{k}\right)\\
N=\frac{1}{4 \pi R}\left(2 S\left(1+\frac{1}{k}\right)-\frac{g t^2}{k}\right)=\frac{2 S(k+1)-g t^2}{4 \pi R k} .
$$