1  ^?? Какое количество теплоты выделится на каждом резисторе?

Самое главное — конденсаторы в этой схеме не разряжаются полностью. После того как токи в цепи прекратятся, конденсаторы окажутся соединенными параллельно, то есть напряжения на них окажутся одинаковыми.
Ток, разряжающий средний конденсатор, равен сумме токов крайних конденсаторов, а так как в силу симметрии те равны между собой (см. рисунок), $$
I_2=2 I_1 $$Обозначим напряжение на конденсаторах в конце разряда $U_x$. Поскольку начальное напряжение на каждом из них было $\mathscr{E} / 3$, за время разряда через крайние конденсаторы протекут заряды $q_1=C\left(\frac{\mathscr{E}}{3}-U_x\right)$, а через средний — заряд $q_2=C\left(\frac{\mathscr{E}}{3}+U_x\right)$ (средний конденсатор перезарядится до противоположной полярности). Ясно, что $q_2=2 q_1$, то есть
$$
2 C\left(\frac{\mathscr{E}}{3}-U_x\right)=C\left(\frac{\mathscr{E}}{3}+U_x\right),
$$откуда
$$
U_x=\frac{1}{9} \mathscr{E} .
$$Тепло, которое выделится на каждом из резисторов, найдем из закона сохранения энергии:
$$
\begin{aligned}
& Q_1=Q_2=\frac{1}{2}\left(W_{нач}-W_{кон}\right)= \\
& =\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{C}{2}\left(\frac{\mathscr{E}}{3}\right)^2-\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{C}{2}\left(\frac{\mathscr{E}}{9}\right)^2=\frac{2}{27} C\mathscr{E}.
&
\end{aligned}
$$

2  ^?? Чему равны токи через резисторы в момент времени, когда напряжение на среднем конденсаторе в $10$ раз меньше ЭДС батареи?

Поскольку средний конденсатор перезарядится до противоположной полярности, напряжение $\mathscr{E}/10$ будет на нем дважды — во время разряда от $\mathscr{E}/ 3$ до 0 и во время зарядки от $0$ до $\mathscr{E}/ 9$. Для первого случая, согласно закону Ома,
$$
U_{t 1}+\frac{\mathscr{E}}{10}=R I_{t 1}
$$$\left(U_{t 1}\right.$ — напряжение на крайних конденсаторах в этот момент); заряды, которые протекут к этому моменту через крайние конденсаторы и через средний, связаны соотношением
$$
C\left(\frac{\mathscr{E}}{3}-U_{t 1}\right)=\frac{1}{2} C\left(\frac{\mathscr{E}}{3}-\frac{\mathscr{E}}{10}\right)
$$Решая совместно, находим ток $I_{t 1}$, текущий в первом случае через резисторы:
$$
I_{t 1}=\frac{19}{60} \frac{\mathscr{E}}{R}
$$Составляя аналогичные уравнения для второго случая —
$$
U_{t 2}-\frac{\mathscr{E}}{10}=R I_{t 2}, C\left(\frac{\mathscr{E}}{3}-U_{t 2}\right)=\frac{1}{2} C\left(\frac{\mathscr{E}}{3}+\frac{\mathscr{E}}{10}\right),
$$— находим:
$$
I_{t_2}=\frac{1}{60} \frac{\mathscr{E}}{R} .
$$